dp算法 - poj 4120: 硬币

题目描述

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描述
宇航员Bob有一天来到火星上，他有收集硬币的习惯。于是他将火星上所有面值的硬币都收集起来了，一共有n种，每种只有一个：面值分别为a1,a2… an。 Bob在机场看到了一个特别喜欢的礼物，想买来送给朋友Alice，这个礼物的价格是X元。Bob很想知道为了买这个礼物他的哪些硬币是必须被使用的，即Bob必须放弃收集好的哪些硬币种类。飞机场不提供找零，只接受恰好X元。

输入
第一行包含两个正整数n和x。（1 <= n <= 200, 1 <= x <= 10000)
第二行从小到大为n个正整数a1, a2, a3 … an （1 <= ai <= x)
输出
第一行是一个整数，即有多少种硬币是必须被使用的。
第二行是这些必须使用的硬币的面值（从小到大排列）。
样例输入
5 18
1 2 3 5 10
样例输出
2
5 10
提示
输入数据将保证给定面值的硬币中至少有一种组合能恰好能够支付X元。
如果不存在必须被使用的硬币，则第一行输出0，第二行输出空行。

解题思路

这道题其实是背包问题的变种，从 n个硬币中选择，使其总和为m，将子问题划分为从前i个硬币中选择，使其总和为j，将子问题用 dp[i][j]描述。
边界条件 dp[0][0] = 1，从前0个硬币中选择，其面值和为0，解法唯一，就是谁都不选。
状态转移公式：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-a[i]]
用滚动数组方法简化成 dp[j] += dp[j-a[i]] ，但是j需要从最大取值开始遍历。
动态规划结果就是：dp[j]表示从前n个硬币选择若干个，其和为j。
再回到这道题，对于每一种和为m的选择方案，如果其中有一个硬币面值a[i]可以由其他面值的硬币表示出来，那么它就不是必须选择的硬币，即如果从所有硬币中去掉a[i]面值的硬币，dp[m]的值变成0，也就是没有方案能凑成m，那么a[i]就是不能缺少的硬币。
这道题大致思路就是这么来的。

解题代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

int dp[10010];
int ans[10010]; //ans数组表示在去掉a[i]币值之后，硬币能不能表示价格j
int a[200];
int b[200];

int main(){
    int n, x;
    int cnt;
    while(scanf("%d%d", &n, &x) != EOF){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        memset(b, 0, sizeof(b));
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = x; j >= a[i]; j--){
                dp[j] += dp[j - a[i]];
            }
        }
        cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j <=x; j++){
                if(j < a[i])
                    ans[j] = dp[j];
                else
                    ans[j] = dp[j] - ans[j - a[i]]; //这里理解有点困难，dp[j]表示可以包括a[i]也可以不包括a[i]，凑成j面值的方法数，ans[j-a[i]]表示不带a[i]可以凑成
                                                    // j-a[i] 的方法总数， j - a[i] + a[i]就是j，也就是ans[j - a[i]]是必须带上a[i]能凑成j 面值的方法总数，两者减就是不带上a[i] 凑成 j面值的方法数。
                    
            }
            if(ans[x] == 0){
                b[cnt ++] = a[i];
            }
        }
        printf("%d\n", cnt);
        if(cnt == 0)
            printf("\n\n");
        else
            for(int i = 0; i < cnt; i++){
                if(i != cnt -1)
                    printf("%d ",b[i]);
                else
                    printf("%d\n" , b[cnt - 1]);
            }
        
    }
}