B-树

 

一、B树的定义

 

　　此处文字B树定义转载于此：https://www.cnblogs.com/nullzx/p/8729425.html 侵权立删　（图片自己老师课件和自己画的）　

 

　　B树也称B-树,它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点，一般用字母m表示阶数。当m取2时，就是我们常见的二叉搜索树。 一颗m阶的B树定义如下：

　　1）每个结点最多有m-1个关键字。

　　2）根结点最少可以只有1个关键字。

　　3）非根结点至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字。

　　4）每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。

　　5）所有叶子结点都位于同一层，或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。

 

 

 

　　——>>> 注意:

 

　　上图中的叶子结点也是有五个域，只是简写了三个指针域（4阶省略了4个指针域）而已。所有结点的域都是一样的。

 

　　叶子结点的键值是有顺序的。

 

二、B树的构建

 

　　m阶B树允许每个结点最多有m-1个键值（Key值），m个指针。

 

　　4阶B树允许每个节点最多有3个键值、4个指标。4阶B树又称为2-3-4树。

 

• B树允许多个键值存放在一个节点。其每个节点内的键值是经过排序的，以方便搜寻。如果节点存放的键值数目达到上限，就分裂成两个新节点，并将中间的键值向上插入其父节点（没有达到上限不用分裂）。这种树状结构可保证所有叶节点都处于同一个高度。

 

• 如果达到上限时，结点中的键值个数为奇数的时候，只需要将中间值马上去即可；如果是偶数，可以选择中间的前一个或者中间的后一个都可以。

 

　　logm(n+1) ≤ h ≤ logd(n+1)/2+1

　　注: m:子树的数量(order)，d=┌m/2┐，n:键值数据的数量

 

【示例】

 

　　以下示范一个4阶B树的建构过程。

 

　　① 假设输入的数据库为{ A, S, E, A, R, C, H, I, N, G, E, X, A, M, P, L, E }，加入ASE时因为没有超过上限，所以不用分裂。第二个A加入到{A, E, S}节点后，将会超过2-3-4树的限制。这时候便要将{A, A, E, S}予以分裂（超过限制所以要分解），并将其中间值E取出成为父节点。

 

 

 

 

　　

　　② 插入新键值I后，{H, I, R, S}需要分裂成{H, I}和{S} 。中间值R则向上插入其父节点。

 

 

　　也可以提中间值I上去:

 

　　③插入新键值G后，{G, H, I, N}需要分裂成{G, H}和{N} 。中间值I则向上插入其父节点。

 

 

　　三、B树的插入操作

 

　　B树键值插入的原则，是必须确保插入后仍符合B树的特性：

 

　　1. 经过类似搜寻的过程，找到第一个可插入点（一定是树叶）。

 

　　2. 如果此树叶的数据字段有空位，将新键值插入适当顺序的数据字段。

 

　　3. 如果树叶的数据字段已经额满没有空位，则树叶进行节点分裂(split)，并且分配数据键值到两个树叶，同时将中间的键值

（第┌m/2┐个，这是偶数中间值的后一个，当然也可以前一个）往上插入父节点。

 

　　4. 父节点的插入过程如同步骤2和步骤3，如果此节点还需要分裂，则一直重复。因此每次插入最多可能使B树的高度h增加1。

 

【示例】

 

 

　　① 插入21:因为有空位，直接加入即可。

 

　　

　　② 插入74:插入的结点有空位，但是由于叶子结点的键值有顺序，所以77和74换位置。

　　

　　③ 插入43:因为结点中有33和40，已经满了，此时43插入之后，即为{33，40，43}。40是中间值，所以将40往他的父节点c上提，{33，40，43}结点分裂，以40为界限分为两个结点，c中因为有空位，所以将40放入，但是要保持顺序性，故47往后面的位置移动，让分裂出来的两个结点分别作为中间值40的左右子树，而47的右孩子继续指向49结点。

 

　　④ 加入37，同样没问题。

 

 

　　⑤ 加入39，{33，37}变成了{33，37，39}，超过上限，所以需要分裂，变成{33}和{39}两个结点，中间值37往父节点c上提，但是有{40，47}，此时变为{37，40，47}，还是超过了上限，继续分裂为{37}和{47}两个结点，中间值40往父节点a上提，{30，60}变为{30，40，47}，继续分裂为{30}和{60}两个结点，中间值继续往上提，创建一个新的结点作为根节点，

 

　　具体过程：

 

　　所有与变动无关的结点指针所指向的结点都是不变的，比如47的两个指针原来指向43和49，变动之后还是指向他们两个。而本来40是指向33和37的，分裂之后的37代替了40结点，应该要替他指向33和39。同理，30和36结点没有分裂之前指向的是40和47结点，那么30和36分裂之后也要指向这个结点（虽然他们分裂为了37和47两个结点）。

　　四、应用

 

　　B树的方法主要是要应用在大型文件系统中。 –因其内存有限，再加上数据量很大时，我们无法一次 将整个树状结构加载内存来运算。

　　 –所以，树状结构会存放在像硬盘这样的储存装置中， 通常每个节点会配置一个储存单位以方便存取。 –当B树的节点数越少，高度越低，则存取磁盘的次数就 越少，效能也就越好。

 

　　五、B+树