张量网络

张量网络定义

1.1 封闭的张量网络

用\([k]\)来表示一个大小为\(k\)的有限集，\(k\)代表个数，例如一个大小为\(k\)的有限集\(\{1,2,3,...,k\}\)。一个d元布尔函数\(F:[2]^d\rightarrow C\)，在\((x_1,x_2,x_3,...,x_d)\)的值记为\(F(x_1,x_2,x_3,...,x_d)\)。张量网络用图描述离散函数（定义域是离散集合的函数称为离散函数。其函数图像为一系列离散的点）的结合。其中图可以允许重边和自环（出发点和终点是同一个点），不限于简单图（在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终点相同(也就是它们的的方向相同)，称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不包含自环的图称为简单图。）
图\(G(V,E)\)的每一个点\(v\)被赋予一个\(d_v\)元布尔函数\(F_v\)，这里\(d_v\)表示\(v\)的度（某点连接的边数）。点\(v\)的\(d_v\)条边按一定的次序记为\(e_{v,1},e_{v,2},...,e_{v,d_v}\)。张量网络的值的定义为：

\[\sum_{e_1,...,e_m \in [2]} \prod_{v\in V}F_v(e_{v,1},e_{v,2},...,e_{v,d_v}) \]

其中\(e_1,...,e_m \in [2]\)中\(e_1,...,e_m\)表示的是一个图的边，而且边的“权重”取值为0或1。张量网络值的定义就是一个图的边取0或1，然后计算每个点连接的边“权重”的乘积\(F_v\)，在累加所有的点的\(F_v\)值。上述是一个枚举过程，一个m条边图可能有\(2^m\)种情况。朴素的方法是要把所有情况都列举出来，一一计算。

• 定义（封闭的张量网络）一个张量网络由三个要素构成：

1、图\(G(V,E)\)。（\(E=\{e_1,e_2,...,e_m\}\)。顶点\(v\)的度记为\(d_v\)。）
2、每个顶点\(v\)被赋予一个\(d_v\)元的离散函数\(F_v\)。（函数的每个变量的定义域为\(D\)）。
3、每个顶点\(v\)的\(d_v\)条边被赋予一个次序，第\(i\)条边记为\(e_{v,i}\)。

它的值被定义为：

\[\sum_{e_1,...,e_m \in D} \prod_{v\in V}F_v(e_{v,1},e_{v,2},...,e_{v,d_v}) \]

更数学家的符号可以写为：

\[\sum_{\sigma:E \rightarrow \in D} \prod_{v\in V}F_v(\sigma(e_{v,1}),\sigma(e_{v,2}),...,\sigma(e_{v,d_v})) \quad或 \quad \sum_{\sigma:E \rightarrow \in D} \prod_{v\in V}F_v(\sigma|Neighbor(v)) \]

• 定义 对称函数

一个\(d\)元函数\(F\),如果对任何\(d\)元置换\(\pi\)，都有\(F(x_1,x_2,...,x_d) = F(x_{\pi(1)},x_{\pi(2)},...,x_{\pi(d)})\)，称\(F\)是对称函数。

比如：\(F(1,0,0) = F(0,1,0) = F(0,0,1)\)

• 定义 对称函数的简记法

一个\(d\)元布尔函数\(F\)，最多只有\(d+1\)种函数值，通过枚举函数值记为\(F\)为\([F_0,F_1,...F_d]\)，其中\(F_i\)是\(F\)在输入是\(i\)个1和\(d-i\)个0的值。

比如\(d\)为3，那么有\(2^3\)种情况，那么根据对称函数定义，有0个1，1个1，2个1和3个1共4种情况，即\(d+1\)种函数值。

• 定义 #\(\cal{F}\)问题

输入一个所有函数都来自\(\cal{F}\)的张量网络，求它的值。

通俗的说就是在满足张量网络的前提下，在该范围求满足某定义规则的数量。

例如：

前提：\(k\)规则图\(G(V,E)\)，是每个点的度都是\(k\)的图。
从中找一个\(E^{'}\)，满足：1、\(E^{'} \subseteq E\)；2、\(G(V,E^{'})\)是1规则图。

• 定义 完美匹配数目问题（#\(PM\)）

输入一个图，求它的完美匹配数目。

例如：

\(s\)入\(t\)出的规则图，是每个点的入度都是\(s\)，出度都是\(t\)的图。有向图\(G(V,E)\)的一个圈覆盖是一个集合\(E^{'}\)，满足：1、\(E^{'} \subseteq E\)；2、\(G(V,E^{'})\)是1入1出规则图。

• 定义 圈覆盖数目问题（#\(PM\)）

输入一个图，求它的圈覆盖数目。

1.2开放的张量网络

1.2.1、张量积的定义

两个矩阵M和N的张量积M\(\otimes\)N定义为：

\[M = \left ( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & \cdots & m_{1t}\\ m_{21} & m_{22} & \cdots & m_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{s1} & m_{s2} & \cdots & m_{st} \end{matrix} \right ) \qquad M\otimes N = \left ( \begin{matrix} m_{11}N & m_{12}N & \cdots & m_{1t}N \\ m_{21}N & m_{22}N & \cdots & m_{2t}N \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{s1}N & m_{s2}N & \cdots & m_{st} N \end{matrix} \right ) \]

设M = \((m_{x,y})\)是个\(s\times t\)矩阵，N = \((n_{x,y})\)是一个\(p\times q\)矩阵，\(s \in [s]\)是M的行指标，其定义域有一个自然的行次序。M\(\otimes\)N是一个\(sp\times tq\)矩阵。

\[M \otimes N_{x,z;y,w} = m_{x;y}n_{z;w} \]

M\(\otimes\)N有\(stpq\)个元素。M\(\otimes\)N 以一定的次序和方式存储了MN的所有函数值。本质上，张量积就是以一定次序排序的函数乘积的函数表。

M和N也可以是单独的向量：

也可以没有边，只有顶点，即零元函数的张量积（\(M\otimes N = MN\)）。

推论：一个无外部边的张量网络的值，是它各个联通分支的值的乘积。

推广：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵。用计算机的语言说，张量就是高维数组。张量网络是描述函数的结合的，其基本元素是函数，例如，一个\(d\)元函数\(F:[k]^d\rightarrow \cal{C}\)

1.2.2、函数的矩阵形式

设\(F\)是一个\(n+m\)元布尔函数，可以任意把自变量区分为两部分，设\(x_1,...,x_n,y_1,...y_m\)是它的输入。对应\(2^m\times 2^m\)的矩阵\(M = (M_{x_1,...,x_n,y_1,...y_m})\)，其中

\[M_{x_1,...,x_n,y_1,...y_m}= F(x_1,...,x_n,y_1,...y_m) \]

若取\(m=0\)(或\(n=0\))，就成了列（或行）向量。如下张量网络的函数可用（广义）矩阵乘法“\((F_{x_1,x_2,y_1,y_2})(H_{y_1,y_2,z_1,z_2,z_3})\)”表示：

比如：\((A\cdot B)\otimes(C\cdot D)\)和\((A\otimes C)\cdot (B\otimes D)\)可以表示为：

三、矩阵乘法与张量积的共同（同构）狭义情形

四、混合矩阵乘法与张量积

五、张量网络与迹

\(trace(ABC) = \sum_{e_1,e_2,e_3\in [d]}A_{e_1e_3}B_{e_1e_2}C_{e_2e_3} = trace(BCA)=trace(C^{'}B^{'}A^{'})\)