最大自序和问题
最大自序和问题。给出一个长度为n的序列
求最大连续和。换句话说,要求找到1<=i<=j<=n,使得
尽量大。
使用枚举,demo1
tot = 0; best = A[i]; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i; j <= n; j++) { // 检查连续子序列A[i]~A[j] int sum = 0; for (int k = i; k <= j; k++) { sum += A[k]; tot++; } if (sum > best) { best = sum; // 更新最大值 } } }
显然有
优化:设
直观含义是连续子序列之和等于两个前缀和之差。用这个结论,省略最内层的循环。
demo2
S[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { S[i] = s[i - 1] + A[i]; // 递推前缀和S } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i; j <= n; j++) { best = max(best, S[j] - S[i - 1]); // 更新最大值 } }
此时时间复杂度为O(n^2)。
下面用分治法:
demo3
int maxSubSum(int* A, int x, int y) // 返回数组在左闭右开区间[x,y)中的最大连续和 { if (y - x == 1) { return A[x]; // 只有一个元素,直接返回 } int m = x + (y - x) / 2; // 分治第一步:划分成[x,m)和[m,y) int maxs = max(maxSubSum(A, x, m), maxSubSum(A, m, y)); // 分治第二步:递归求解 int v, L, R; v = 0; L = A[m - 1]; // 分治第三步:合并(1),从分界点开始往左的最大连续和L for (int i = m - 1; i >= x; i--) { L = max(L, v += A[i]); } v = 0; R = A[m]; // 分治第三步:合并(2),从分界点开始往右的最大连续和R for (int i = m; i < y; i++) { R = max(R, v += A[i]); } return max(maxs, L + R); // 把子问题的解与L和R比较 }上述方法有
最后如果给问题加一个条件,为方便起见,如果所有整数均为负数,则最大子序和为0.
这里给出上述假设下的联机算法:
int maxSubsequenceSum(const int A[], int N) { int thisSum, maxSum, j; thisSum = maxSum = 0; for (int j = 0; j < N; j++) { thisSum += A[j]; if (thisSum > maxSum) { maxSum = thisSum; } else if (thisSum < 0) { thisSum = 0; } } return maxSum; }
这个算法附带的优点是,它只对数据进行一次扫描,一旦A[i]被读入并处理,它就不再需要被记忆。因此,如果数组在磁盘或磁带上,它就可以被顺序读入,在主存中不需要存储数组的任何部分。不仅如此,在任意时刻,算法都能对它已经读入的数据给出子序列问题的正确答案(其他算法不具有这个特性)。具有这种特性的算法叫做联机算法(online algorithm)。仅需要常量空间并以线性时间运行的联机算法几乎是完美的算法。