【题解】Luogu P7171 [COCI2020-2021#3] Selotejp

注：题解中 \(\operatorname{lsh}\)，\(\operatorname{rsh}\)，\(\operatorname{or}\) 分别表示按位左移、按位右移、按位或，即 c++ 语言中的 <<，>>，|。

我也是打上轮廓线 DP 了。

设 \(f_{x,y,S}\) 表示当前在 \((x,y)\) 格子，前 \(m\) 个格子的状态为 \(S\) 时的最小花费。

这里的状态是指，这一格竖着覆盖为 \(1\)，横着覆盖或本来就不用覆盖为 \(0\)。

这里的前 \(m\) 个格子如下图所示，假设 \(m=4\)，当前在 \((2,2)\)，方格内的数表示在 \(S\) 中从低到高的下标（从 \(0\) 开始）：

它就是一个逐行遍历矩阵的顺序，注意是包括 \((x,y)\) 这一格的。

为什么要这样记录呢，因为存在竖着覆盖，如刚才的例子，\((2,2)\) 的下一个为 \((2,3)\)，它的上面是 \((1,3)\)，刚好被记录了状态。

于是转移其实不难想：

下一位 \((nx,ny)\) 为 #
- 横着覆盖，判断左边有没有点，且这个点是不是横着覆盖的，即 \(f_{nx,ny,S\operatorname{rsh}1}\) 从 \(f_{x,y,S}\) 或 \(f_{x,y,S}+1\) 转移。
- 竖着覆盖，判断上面的点是不是竖着覆盖的，即 \(f_{nx,ny,(S\operatorname{rsh}1)\operatorname{or}(1\operatorname{lsh}(m-1))}\) 从 \(f_{x,y,S}\) 或 \(f_{x,y,S}+1\) 转移。
下一位为 .，直接让 \(f_{nx,ny,S\operatorname{rsh}1}\) 从 \(f_{x,y,S}\) 转移。

复杂度 \(O(nm2^m)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define il inline
#define read(x){\
	char ch;\
	int fu=1;\
	while(!isdigit(ch=getchar()))\
		fu-=(ch=='-')<<1;\
	x=ch&15;\
	while(isdigit(ch=getchar()))\
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);\
	x*=fu;\
}

using namespace std;
namespace asbt{
namespace cplx{bool begin;}
const int maxn=(1<<10)+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[maxn][15][maxn];
char s[maxn][15];
il void upd(int &x,int y){
	x=min(x,y);
}
namespace cplx{
	bool end;
	il double usdmem(){return (&begin-&end)/1048576.0;}
}
int main(){
	read(n)read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf(" %s",s[i]+1);
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	if(s[1][1]=='#'){
		f[1][1][0]=f[1][1][1<<(m-1)]=1;
	}
	else{
		f[1][1][0]=0;
	}
	for(int x=1;x<=n;x++){
		for(int y=1;y<=m;y++){
			for(int S=0,nx,ny;S<1<<m;S++){
				if(f[x][y][S]>=inf){
					continue;
				}
				nx=x+y/m;
				ny=y%m+1;
				if(s[nx][ny]=='#'){
					if(ny>1&&(S>>(m-1)&1)==0&&s[x][y]=='#'){
						upd(f[nx][ny][S>>1],f[x][y][S]);
					}
					else{
						upd(f[nx][ny][S>>1],f[x][y][S]+1);
					}
					if(nx>1&&(S&1)){
						upd(f[nx][ny][S>>1|1<<(m-1)],f[x][y][S]);
					}
					else{
						upd(f[nx][ny][S>>1|1<<(m-1)],f[x][y][S]+1);
					}
				}
				else{
					upd(f[nx][ny][S>>1],f[x][y][S]);
				}
			}
		}
	}
	int ans=inf;
	for(int S=0;S<1<<m;S++){
		ans=min(ans,f[n][m][S]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}
}
int main(){return asbt::main();}