算法学习笔记-exgcd

前言：

$\mathrm{exgcd}$，顾名思义，是 $gcd$ 的一种扩展。$gcd$ 是求最大公因数，所用到的是辗转相除法，基于 $gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)(a>b)$ 的原理，在学习 $\mathrm{exgcd}$ 前，请确保已掌握 $gcd$ ,并懂得一点数学归纳法。如果您已掌握这些前置知识，请开始学习。

例题：

先看这样一道题，给定整数 $a,b$ ，求 $x,y$ 使得 $ax+by=1$。

性质：

性质1：

这显然是一道数学题（废话），考虑将原式根据乘法分配律转换为 $gcd(a,b)\times (\frac{a}{gcd(a,b)}x+\frac{b}{gcd(a,b)}y)=1$。而如果两个整数乘积为 $1$，则他们一定为 $1$，因此 $gcd(a,b)=1$ ,换句话说，$a,b$ 互质。

综上所述，我们得出性质，若原方程有解，当且仅当 $a,b$ 互质。

性质2：

这个性质就比较简单，它实际上是类似于递归边界的东西，并不需要怎么推导。考虑当 $a=1,b=0$ ,原方程有一组解为 $x=1,y=0$。

推导：

先看原式：$ax+by=1$。
设 $m=a\mathrm{mod}b$，$k=\frac{a}{b}$，则 $a=bk+m$。（其实就是余数和商）。
设有一个和原式一样的方程 $x^{\prime }m+y^{\prime }b=1$；

根据 $m$ 的定义，转换为 $x^{\prime }(a-kb)+y^{\prime }b=1$；

将式子打开，变为 $x^{\prime }a-x^{\prime }kb+y^{\prime }b=1$；

合并同类项，变为 $x^{\prime }a-(y^{\prime }-k{x}^{\prime })b=1$；

可以发现一个神奇的事情，转化后的方程与原方程本质是一样的！唯一变化的只有 $x$ 与 $y$ 的值。也就是说，若 $x^{\prime }（a\mathrm{mod}b）+y^{\prime }b=1$ 有解，那么 $ax+by=1$ 也一定有解。而且这个解就是 $x=x^{\prime }$, $y=y^{\prime }-k{x}^{\prime }$（将所推方程代入）。而根据 $gcd$ 的写法，两个互质的数到递归边界时一定是 $a=1,b=0$。因为 $a=1,b=0$ 的情况是有解的，所以 $gcd(a,b)=1$ 也是有解的，这也进一步证明了上面的性质。

如果你到这里都听懂了，那么下面的问题就很简单了，只需将 $x,y$ 代入下面推出来的式子即可。

结论：

通过以上推导，可以得出：

1. 原方程有解当且仅当 $gcd(a,b)==1$。
2. 原方程解为 $\{\begin{array}{ll}x=1，y=0& a=1,b=0\\ x=x^{\prime }，y=y^{\prime }-kx(x^{\prime }a\mathrm{mod}b+y^{\prime }b=1,k=\frac{a}{b})& otherwise\end{array}$

实现：

$\mathrm{exgcd}$ 模版见下（递归）：

点击查看代码

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if(a == 1 && b == 0)//边界 
	{
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b, y, x);
	//这里之所以要交换x和y的位置，是因为b与a%b交换了，根据公式要把x,y也换过去 
	y = y - a / b * x;//按照公式赋值，由于是引用，所以x的值已经更改了。 
}

总结：

第一次学 $\mathrm{exgcd}$ 时，刚开始看到结论十分蒙，等到搞清楚证明时觉得这个证明妙不可言。笔者认为，学习 $\mathrm{exgcd}$ 应不仅只会背代码，更要明白证明的过程，最好自己手推一遍。因为证明不仅是解决之后的许多与 $\mathrm{exgcd}$ 的题有关，更能扩展思维，对数论有很大帮助。

鉴于笔者也是蒟蒻，文中给出的部分推导过程与表述可能不严谨，欢迎大佬在评论区指出。
同时如果您对文章内容有不理解的地方，欢迎随时提问。