P4850 [IOI2009] Raisins 题解

前言:

IOI 还出这样水的纯记忆化搜索题？还是 T4？真令人难以置信。

题意：

题目传送门

一个 $N\times M$ 的矩阵，对于任意一个子矩阵，只能横着或竖着分割，并且分割一次的价值为改子矩阵的元素之和，现要将该矩阵分割成 $1\times 1$ 的方格，求最小的分割总价值之和。

思路：

看到这是个最优化的题，且数据范围很小，可以用搜索。

并且，对于一个相同的子矩阵，可能会搜到多次，由于它的最优值是一定的，所以可以用记忆化优化一下。

总结出搜索思路：

1. 枚举是竖着切和横着切，以及切的位置。

2. 继续递归，计算出切割后两个更小的子矩阵的价值，并求出所有切割方案中的最优值。

3. 当搜索到的子矩阵大小为 $1$，直接返回。

4. 当前子矩阵搜过，返回得出的最优值。

5. 用最优值再加上当前子矩阵本身的和，即为该子矩阵的最优值。

对于子矩阵的和，可以用二维前缀和计算，优化时间。不知道二维前缀和的同学可以参考我的这篇博客。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[51][51];//读入的矩阵 
int ans[51][51][51][51];//记忆化，记录最优值 
bool f[51][51][51][51];//记忆化，记录搜没搜过 
inline int dfs(int lx,int ly,int rx,int ry)
{
	if(f[lx][ly][rx][ry]) return ans[lx][ly][rx][ry];//搜过直接返回最优值 
	f[lx][ly][rx][ry]=1;//否则先标记一下 
	if(lx==rx&&ly==ry)//大小为1，不需再切，直接返回 
	{
		ans[lx][ly][rx][ry]=0;
		return 0;
	}
	for(int i=lx;i<rx;i++)//横着切，以及切的位置 
	{
		ans[lx][ly][rx][ry]=min(ans[lx][ly][rx][ry],dfs(i+1,ly,rx,ry)+dfs(lx,ly,i,ry));	//递归算值，并维护最优值 
	} 
	for(int i=ly;i<ry;i++)//竖着切，以及切的位置 
	{
		ans[lx][ly][rx][ry]=min(ans[lx][ly][rx][ry],dfs(lx,i+1,rx,ry)+dfs(lx,ly,rx,i));//同上 
	}
	ans[lx][ly][rx][ry]+=a[rx][ry]+a[lx-1][ly-1]-a[lx-1][ry]-a[rx][ly-1];//加上子矩阵自身，这里用了二维前缀和优化 
	return ans[lx][ly][rx][ry];//返回 
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];//二维前缀和预处理 
		}	
	}
	printf("%d\n",dfs(1,1,n,m));	
	return 0;
}

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