CF1468A LaIS

题意简述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a_n$ ， 找出一个子序列 $b_k$ ，使其满足
$min(b_1,b_2)\le min(b_2,b_3)\le ···\le min(b_{k-1},b_k)$ ，求 $k$ 的 最大值。

$\mathrm{\forall }1\le a_i\le n,n\le 5\times {10}^5$

题解

相当于一个变形的 LIS，对于普通的 LIS 可以树状数组优化 dp 。注意到如果子序列b是一个 LIS 那么显然符合题意，如果在 LIS 相邻元素间插入一个比它们都大的数也符合条件，那么可以得到一个 dp :

$$f_i=\underset{j<i,a_j<=a_i}{max}{f}_j+1+[\underset{k=j+1}{\overset{i-1}{max}}{a}_k>max(a_j,a_i)]$$

对于每个 $i$ 用单调栈预处理出 $pr{e}_i$ 表示 $i$ 左边第一个大于 $a_i$ 的位置，若上个决策点 $j<pr{e}_i$ 表示中间插了数，否则直接转移。

$$f_i=max(\underset{j<pr{e}_i}{max}\{f_j\}+2,\underset{pr{e}_i\le j<i}{max}\{f_j\}+1)$$