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a ) 为此介绍一些常见的变换及其性质Laplace变换的定义为$$ \mathscr{L} \{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$Laplace反演变换公式为$$\mathscr{L}^{-1}F(s)=\int_{0}^{\infty}F(s)e^{s... 阅读全文
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我们重点考察$R-L$型分数阶微积分的性质，简记${}_{0}^{RL}D_{t}^{\beta}=D_{t}^{\beta}$，若无特殊说明。a). 线性性$$D_{t}^{\beta}[f(t)+g(t)]=D_{t}^{\beta}f(t)+D_{t}^{\beta}g(t)$$$$D_{t}... 阅读全文
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一些基本函数的R-L分数阶导数：c. 幂函数 $t^{\mu}$$$_{0}^{RL}D_{t}^{\nu}t^{\mu}=\frac{\Gamma(1+\mu)}{1+\mu-\nu}t^{\mu-\nu}$$首先我们来计算 $t^{\mu}$的$\alpha$分数阶积分\begin{eqnarr... 阅读全文
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2.1 分数阶微积分的历史分数阶微积分已有300多年的历史，最早由L'Hospital 1695年9月30号在给Leibnitz的信件中提出，经Euler,Lagrange,Lacroix,Fourier,Liouville,Riemman,Weyl 等数学家的辛勤工作初步建立起来的,但数学理论仍有... 阅读全文
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欧拉是数学家心目中的英雄，欧拉积分具有重要的应用。先给出欧拉积分的性质以便为进入分数阶微积分打下基础。1.1 $\beta$函数定义$$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$$易看出$0$和$1$为奇点，积分在$\alph... 阅读全文
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1. 猴子分桃：一群猴子分桃，桃子共$56$个，每只猴子可以分到相同多的桃子，但在它们正在分的时候又来了$4$只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数目仍然相同，那么最后每只桃子分到多少个桃子?总共多少只猴子？2. 将两个不同的自然数中较大的数换成它们的差，称为一次操作，如此继续下去直... 阅读全文
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1. 一个凸$n$边型,任意三条对角线不共点,问所有的对角线把这个多边形内部分成了多少个区域?解答:去边法,现将这个多边形的对角线一条一条的去掉.假设第一条对角线与其他内部对角线有$k_{1}$个交点,那么去掉它这个多边形内部减少$k_{1}+1$个;再去掉第二条，内部区域减少$k_{2}+1$个去... 阅读全文
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证明 \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=\pi\]分析：这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决，由分子分母的特性易想到 $\Gamma$函数然后利用$\Gamma$函数与$\beta$函数的关系即可。Proof：\begin{al... 阅读全文
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题东湖风光村数间破楼风光村，小巷深深重掩门。渡口空空船不立，涛声过后是黄昏。 阅读全文