01 2015 档案
摘要：设 $f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的连续周期函数，一个正周期为$T$,且$\int_{0}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$收敛，证明$\int_{0}^{T}f(x)dx=0$
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摘要：1.计算$|p|<\frac{1}{2}$时$$\int_0^{+\infty}\left(\frac{x^p-x^{-p}}{1-x}\right)^2\mathrm{d}x=2(1-2p\pi\cot2p\pi)$$2. 证明：$$\int_0^{+\infty}\sin\left(x^3+\f...
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摘要：\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\frac{\ln k}{k}&=2\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{\ln 2k}{2k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\\&=\ln 2\sum_{k=1}^{[\
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摘要：求$(\cos x+2)(\sin x+1)$的最大值解： 设$$f(x)=\cos x \sin x +\cos x+ 2\sin x +2$$令$t=\tan{\frac{x}{2}}$, 则$$\sin x=\frac{1}{1+t^{2}}; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+...
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摘要：设 $X$ 为实赋范空间，$f_{1},f_{2},\cdots,f_{n}\in X$ 且线性无关，则存在 $\lambda>0$, 使得\[\sum_{k=1}^{n}|\alpha_{k}|\leq \lambda \sum_{k=1}^{n}\|\alpha_{k}f_{k}\|\]其中 $...
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摘要：设 $p>0,q>0，a>0,b>0$ 且 $1/p+1/q=1$ 有\[ab\leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\]证明：设\[f(b)=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}-ab\]则\[f'(b)=b^{q-1}-a\]故当 $b_...
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摘要：求极限$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx$$解：作变量替换 $t=nx$$$\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx=\frac{1}{\Gamma(n+...
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摘要：计算积分\[\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx=\frac{\pi^{2}}{12}\]解：\begin{align*}\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\...
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摘要：孔门十哲德行▪颜回▪闵子骞▪冉耕▪冉雍政事▪冉有▪仲由言语▪宰予▪端木赐文学▪言偃▪卜商孔门七十二贤▪闵损( 子骞)▪冉耕( 伯牛)▪冉雍( 仲弓)▪冉求( 子有)▪仲由( 子路)▪宰予( 子我)▪端木赐( 子贡)▪言偃( 子游)▪卜商( 子夏)▪颛孙师( 子张)▪曾参( 子舆)▪澹台灭明( 子羽)...
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摘要：一见钟情钟的不是情而是脸。（不知） 教育就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西。（爱因斯坦） 没有宗教的科学是跛的，没有科学的宗教是瞎的。（爱因斯坦） 两件事情让我敬畏：布满星星的天空和隐藏在其中的人的精神世界。（爱因斯坦） 上帝喜欢把灾难降临到那些喜欢自高自大的人身上。 而欲留名青史，让全
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摘要：设 $\lambda_{i}=\frac{y_{i}^{2}}{\sum_{i}^{n} y_{i}^{2}}$, 则 $\sum_{i}^{n}\lambda_{i}=1$.考虑函数 $f(x)=x^2$ , $f''(x)=2>0$,利用凸不等式$$f(\sum_{i}^{n}\lambda_{...
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摘要：设$f(x)\in C[0,1]$\[ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|f(x)+f(y)|dxdy \geq \int_{0}^{1}|f(x)|dx \]
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摘要：做了个梦一个处处可微的函数 伸缩变换之后处处不可微了。一条平滑的曲线被噪声扰动变得处处不可微了。
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摘要：The Hundred Greatest TheoremsThe millenium seemed to spur a lot of people to compile "Top 100" or "Best 100" lists of many things, includingmovies(by ...
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