一阶非线性常微分方程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理
上一节简单介绍了可求解的一阶常微分方程的解法，因为大部分非线性方程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。本节主要介绍一阶非线性常微分方程Cauchy问题
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对一阶常微分方程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论文足足有三四百页，后来数学家Banach把Picard的方法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之一，也是用的最多的定理之一，它在线性方程组求解迭代方法的收敛性、常微分方程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚至代数方程解的存在性等问题中均有重要应用。许多微分方程（组）通过转化为等价的积分方程再利用不动点理论来证明解的存在性。本节也采用这一框架来探索方程（E）解的存在性。为此，首先利用Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。
定理1 (Banach) 设$X$为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），$f:X\to X$为压缩映射，即存在常数$k, 0<k<1$，对任意$x,y\in X$有
$$
\|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|,
$$
则映射$f: X\to X$有且只有一个不动点$x\in X.$
证明： 任取$x_{0}\in X$，构造Picard迭代
$$
x_{n+1}=f(x_{n}),\,\,\,\,n\geq 0.
$$
则
$$
\|x_{n+1}-x_{n}\|=\|f(x_{n})-f_{x_{n-1}}\|\leq k\|x_{n}-x_{n-1}\|\leq\cdots\leq k^n\|x_{1}-x_{0}\|.
$$
设$m>n\geq 0$，由三角不等式和上式得
$$
\|x_{m}-x_{n}\|\leq \sum_{p=n}^{m-1}\|x_{p+1}-x_{p}\|\leq \frac{k^n}{1-k}\|x_{1}-x_{0}\|,
$$
当$m,n\to \infty$时，$\|x_{m}-x_{n}\|\to 0$, 故序列$\{x_{n}\}$为Cauchy列，由$X$的完备性知存在$x_{\infty}\in X$使得$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{\infty}.$ $f:X\to X$满足Lipschitz条件，显然连续.故
$$
x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).
$$
存在性得证。
误差估计：
$$
\|x_{n}-x_{\infty}\|=\lim_{m\to\infty}\|x_{n}-x_{m}\|\leq \frac{k^n}{1-k}\|x_{1}-x_{0}\|.
$$
若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{c}$，由上式知
$$
\|x_{c}-x_{\infty}\|=0.
$$
唯一性得证。证毕。
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定理2 (Picard—Lindelof) 设初值问题
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
$f: Q_{a,b}\to \mathbb{R}$为连续函数，并且对第二个变量满足Lipschitz条件，即
$$
|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L |y_{1}-y|
$$
其中矩形区域$Q_{a,b}$ 为
$$
Q_{a,b}=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a, |y-y_{0}|\leq b\}.
$$
$\,a,\, b,\,L$均为常数。则(E)在局部区间$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]$上有解，其中常数
$$
h=\min\left\{a,\frac{b}{M},\frac{1}{L}\right\},\,\,\,\,M=\max_{(x,y)\in \mathbb{R}}f(x,y)
$$
证明： 由微积分基本定理知，方程(E)等价于积分方程
$$
y(x)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))ds.
$$
取区间
$$
I_{\varepsilon}=[x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon] \sub [x_{0}-a,x_{0}+a].
$$
$$
J_{\varepsilon}=[y_{0}-M\varepsilon,y_{0}+M\varepsilon]\sub [y_{0}-b,y_{0}+b]
$$
其中$\varepsilon$ 为待定常数，
定义映射
$$
F(y)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))ds,
$$
则
$$
F: C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})\to C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon}).
$$
事实上，
$$
|F(y)-y_{0}|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s)ds\right|\leq M\varepsilon.
$$
取$C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})$的上确界范数,压缩条件
$$
\|F(y_{1})-F(y_{2})\|=\sup_{x\in I_{\varepsilon}}\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{1}(s))-f(s,y_{2}(s))ds\right|\leq L\varepsilon \|y_{1}-y_{2}\|
$$
故当
$$
\varepsilon <\frac{1}{L},\,\,\varepsilon<a,\,\,and,\,\,\varepsilon<\frac{b}{M}.
$$
时,由Banach不动点定理知存在唯一的$y\in C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})$使得$F(y)=y$,即为原微分方程等价的积分方程的唯一解。
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定理3 (改进的Picard-Lindelof) 设初值问题
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
$f: Q_{a,b}\to \mathbb{R}$为连续函数，并且对第二个变量满足Lipschitz条件，即
$$
|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L |y_{1}-y|
$$
其中矩形区域$Q_{a,b}$ 为
$$
Q_{a,b}=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a, |y-y_{0}|\leq b\}.
$$
$\,a,\, b,\,L$均为常数。则(E)在局部区间$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]$上有解，其中常数
$$
h=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},\,\,\,\,M=\max_{(x,y)\in \mathbb{R}}f(x,y)
$$
注：这个定理与上个定理的不同在于$h$的范围变大了一些。证明它的工具为以下推广的Banach不动点定理。
定理4 (推广的Banach不动点定理) 设$X$为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），$F^{n}:X\to X, n\geq 1$为压缩映射,则映射$F: X\to X$有且只有一个不动点$x\in X.$
定理4的证明 ：
不妨设$n\geq 2$，由Banach不动点定理知存在唯一的$x_{\infty}\in X,F^{n}x_{\infty}=x_{\infty}$，又
$$
F^{n}(F(x))=F^{n+1}(x)=F(F^{n}x)=(F(x)).
$$
上式表明$F(x)$也是$F^{n}:X\to X$的一个不动点，由唯一性知$F(x)=x.$ 证毕.
定理3的证明：符号设定均与定理2的证明相同。
设
$$
\forall y,z\in C(I_{\varepsilon},J_{\varepsilon}),y_{1}=y,z_{1}=z.
$$
$$
y_{k+1}=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{k}(s))ds,\,\,k\geq 1.
$$
$$
z_{k+1}=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,z_{k}(s))ds,\,\,k\geq 1.
$$
有估计式
$$
|y_{2}(x)-z_{2}(x)|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))-f(s,z(s))\right|\leq L\|y-z\|\cdot |x-x_{0}|,
$$
依次递推，
$$
|y_{3}-z_{3}|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{2}(s))-f(s,z_{2}(s))\right|\leq\left|\int_{x_{0}}^{x}L|y_{2}-z_{2}|\right|
$$
$$
\leq L^{2}\|y-z\|\left|\int_{x_{0}}^{x}|s-x_{0}|ds\right|=\frac{L^2}{2!}\|y-z\|\cdot(x-x_{0})^{2}
$$
$$
\cdots
$$
$$
\|F^{n+1}y-F^{n+1}z\|\leq \frac{L^{n}\varepsilon^{n}}{n!}\|y-z\|
$$
而
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{L^{n}\varepsilon^n}{n!}=0.
$$
也就是说存在$p\in \mathbb{N}^{+},s.t.\,\,F^{p}$为压缩映射，从而根据推广的Banach定理知映射$F: X\to X$有且只有一个不动点$x\in X.$ 这里对$\varepsilon$的限制为
$$
\varepsilon<a\,\,\,\,and,\,\,\,\,\varepsilon<\frac{b}{M}.
$$
证毕。
