中科院2018研究生入学考试 数学分析+高等代数
01. (15pt) 计算极限
\[\lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac1x+\cos\frac1x\right)^{x}\text{．}\]
02. (15pt) 计算极限
\[\lim_{x\to 0} \left(\frac{4+\mathrm{e}^{\frac1x}}{2+\mathrm{e}^{\frac4x}}+\frac{\sin x}{|x|} \right)\text{．}\]
03. (15pt) 判断 (并证明) 函数 $f(x,y)=\sqrt{|{xy}|}$ 在点 $(0,0)$ 处的可微性．
04. (15pt) 求三个实常数 $a,b,c$，使得下式成立
\[\lim_{x\to 0}\frac1{\tan x -ax}\int_b^x\frac{s^2}{\sqrt{1-s^2}}\,\mathrm{d}s =c\text{．}\]
05. (15pt) 计算不定积分
\[\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^6 x+\cos^6 x}\text{．}\]
06. (15pt) 设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二次连续可微，$f(0)=0$，证明：
\[
\left|\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq\frac{M}{3},\quad \text{其中 }M=\max_{x\in[-1,1]}\left|f''(x)\right|\text{．}
\]
07. (15pt) 求曲线 $y=\dfrac12x^2$ 上的点，使得曲线在该点处的法线被曲线所截得的线段长度最短．
08. (15pt) 设 $x>0$，证明
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac1{2\sqrt{x+\theta}}\text{，}\]其中 $\theta=\theta(x)>0$，并且 $\lim\limits_{x\to 0}\theta(x)=\dfrac 14$．
09. (15pt) 设
\[u_n(x)=\frac{(-1)^n}{(n^2-n+1)^x}\quad (n\geq 0)\text{，}\]求函数 $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_n(x)$ 的绝对收敛、条件收敛以及发散的区域．
10. (15pt) 证明
\[\frac15<\int_0^1\frac{x\mathrm{e}^x}{\sqrt{x^2-x+25}}\,\mathrm{d}x<\frac{2\sqrt{11}}{33}\text{．}\]
一、(20pt) 设 $p(x),q(x),r(x)$ 都是数域 $\mathbb{k}$ 上的正次数多项式，而且 $p(x)$ 与 $q(x)$ 互素，$\mathrm{deg}(r(x))<\mathrm{deg}(p(x))+\mathrm{deg}(q(x))$．证明：存在数域 $\mathbb{k}$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，满足 $\mathrm{deg}(u(x))<\mathrm{deg}(p(x)),\,\mathrm{deg}(v(x))<\mathrm{deg}(q(x))$，使得
\[\frac{r(x)}{p(x)q(x)}=\frac{u(x)}{p(x)}+\frac{v(x)}{q(x)}\text{．}\]
二、(20pt) 设 $n$ 阶方阵 $M_n=\left(|i-j|\right)_{1\leq i,j \leq n}$，令 $D_n=\mathrm{det}(M_n)$ ($M_n$ 的行列式)．
(1) 计算 $D_4$；
(2) 证明 $D_n$ 满足递推关系式 $D_n=-4D_{n-1}-4D_{n-2}$；
(3) 求 $n$ 阶方阵 $A_n=\left(\left|\frac1i-\frac1j\right|^{\llap{\phantom{b}}}\right)_{1\leq i,j \leq n}$ 的行列式 $\mathrm{det}(A_n)$．
三、(20pt) 设 $A,B$ 均是 $n$ 阶方阵，满足 $AB=0$．证明
(1) $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B) \leq n$；
(2) 对于方阵 $A$ 和正整数 $k\,(\mathrm{rank}(A) \leq k \leq n)$，必存在方阵 $B$，使得
\[\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)=k\text{．}\]
四、(20pt) 通过正交变换将下面的实二次型化成标准型：
\[q(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3-2x_1x_3\text{．}\]
五、(20pt) 设 $A$ 和 $B$ 是两个 $n$ 阶实矩阵，并且 $A$ 是对称正定矩阵，$B$ 是反对称矩阵．证明：$A+B$ 是可逆矩阵．
六、(20pt) 设 $A$ 是 $n$ 阶复数矩阵，且 $A=\left(\begin{array}{l} A_1\\ A_2\end{array}\right)$，令
\[
V_1=\left\{\,x\in\mathbb{C}^n\,\middle|\,A_1 x=0\,\right\},\quad
V_1=\left\{\,x\in\mathbb{C}^n\,\middle|\,A_2 x=0\,\right\}\text{，}
\]证明：矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是向量空间 $\mathbb{C}^n$ 能够表示成子空间 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和：$\mathbb{C}^n=V_1 \oplus V_2$．
七、(15pt) 证明：$8$ 个满足 $A^3=0$ 的 $5$ 阶复数矩阵中必有两个相似．
八、(15pt) $\mathbb{R}$ 上所有 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵构成的线性空间 $V=\mathbb{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 $f:\, V \to V$ 定义为
\[
f(A)=A+A'\quad \forall A\in V\text{，}
\]其中 $A'$ 为 $A$ 的转置．求 $f$ 的特征值、特征子空间、极小多项式．
来源：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=38108&extra=page%3D1
