二重积分与三重积分补充习题
1. 计算$\iiint_{V}xyz(1-x-y-z)^{2}dxdydz$, $V$是由$x>0,y>0,z>0,x+y+z<1$所确定的有界区域.
2. 设$f(x,y)$是$\mathbb{R}^{2}$上的连续函数, 试交换累次积分
\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}dx\int_{x^{2}+x}^{x+1}f(x,y)dy
\end{equation*}
的积分次序.
3. 作适当变量替换计算积分
(1). $I=\iint_{D}\frac{3x}{x^{2}+xy}dxdy,$ 其中$D$为平面曲线$xy=1,xy=3, y^{2}=x, y^{2}=3x$ 所围成的有界闭区域.
(2). $K=\iint_{D}f(x,y)dxdy,$ 其中$D$由曲线$xy=1, xy=2, y=x, y=4x, (x>0, y>0)$所围成的区域.
(3). $L=\iint_{D}\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}}$, 其中$D$由$x$轴, $y=x,\sqrt{x}+\sqrt{y}=1, \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$围成的有界闭区域.
4. 计算积分
\begin{equation*}
I=\iint_{D}\frac{1}{xy}\,dxdy,
\end{equation*}
其中$D$是由
$$2\leq \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\leq 4;\,\,2\leq \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\leq 4$$
确定的有界闭区域.
5. 设$x=x(u,v),y=y(u,v)$有连续偏导数,一一对应地将区域$D'$映到$xy$平面上的区域$D$, 满足雅可比行列式$\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\neq 0$,且
\begin{equation*}
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v},\,\,\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}.
\end{equation*}
试证:
\begin{equation*}
\iint_{D}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}dxdy=\iint_{D'}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}dudv.
\end{equation*}
6. (1). 计算积分$A=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left|xy-\frac{1}{4}\right|dxdy.$
(2). 设$z=f(x,y)$在闭区域$D: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$上连续,且满足下列条件
$$\iint_{D}f(x,y)dxdy=0,\,\,\iint_{D}xyf(xy)dxdy=1.$$
证明存在$(\xi,\eta)\in D$使得$|f(\xi,\eta)|\geq A^{-1}.$ 此$A$为6(1)中的积分值.
7. 计算三重积分
\begin{equation*}
H=\iiint_{D}\frac{xyz}{\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}y^{2}}}dxdydz,
\end{equation*}
其中$D$是由$x,y,z\geq 0, x^2+y^2+z^2\leq R^2$确定的有界闭区域, $a>b>c>0.$
8. 求极限
$$\lim_{R\to \infty}\iint_{|x|\leq R,\,\,|y|\leq R}(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy$$
提高题(9-12题中至少选一题):
9. 设$H(x)=\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j},$ 其中$A=(a_{ij})$是3阶正定对称矩阵, 求
\begin{equation*}
I=\iiint_{H(x)\leq 1}e^{\sqrt{H(x)}}\,\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}.
\end{equation*}
10. 计算三重积分
$$I=\iiint_{V}\cos(ax+by+cz)dxdydz,$$
其中$V:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1, a,b,c$是不全为零的常数.
11. 设$\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j}$表示变量为$(x_{1},x_{2},x_{3})$的二次型, 其系数矩阵$A=(a_{ij})$为正定对称阵, 证明椭球面$S:\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j}=1 $所包围的体积为$\frac{4\pi}{3}\sqrt{\det A}$, $\det A$表示$A$的行列式.
12. 计算积分
$$I=\iiiint_{D}e^{(Ax,x)}\,\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}dx_{4},$$
其中$(Ax,x)=\sum_{i,j=1}^{4}a_{ij}x_{i}x_{j}$是正定二次型, $D$是$(Ax,x)\leq 1$所围成的有界区域.
应用题(13-15题中至少选一题):
13. 假定物体有连续的密度函数, 证明凸形物体的质心必在其体内.
14. 半径为$R$的均匀圆盘, 其密度为$\mu$, 过圆心且与圆垂直的直线上有一密度为$\rho$的均匀细棒, 棒长为$l$, 其近圆盘的一端与圆心相距为$a$,求圆盘对棒的引力.
15. 在研究流行病的传播时,假设患病者将疾病传染给健康者的概率是两者之间距离的函数. 现考虑一个半径10km的圆形城市, 假设城中的人口和患病都是均匀分布的(每$km^{2}$有$k$名患者), 又设$A$点处的健康者被位于点$P$处的患病者传染的概率为
$$f(P)=\frac{20-d(P,A)}{20}$$
其中$d(P,A)$为$P$点与$A$点之间的距离.
(a). 假设位于点$A$处的居民被传染上该病的概率(称为被感染率)等于城市中所有患者将疾病传染给他的概率之和. 试用二重积分表达该居民的被感染率.
(b). 计算居住在城市中心的居民和居住在城市边缘处的居民的被感染率分别是多少？两者比较住在哪较为安全？
