重积分与曲线积分补充习题

1.  给定曲线积分$\int_{C}(y^{3}-y)dx-2x^{3}dy$, 其中$C$为光滑的简单闭曲线，取正向，问当$C$为什么曲线时$I$ 的值最大.

 

2.  设二元函数$f(x,y)$在$\Omega=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}$上有定义，并且$f(x,y)$对确定的$x\in [a,b]$是$y$在$[c,d]$上的单调增函数,对确定的$y\in [c,d]$是$x$在$[a,b]$上的单调递增函数,证明$f(x,y)$在$\Omega$上可积.

 

3.  设$F(x,y)$是区域$\Omega$上的可积函数, $\Gamma$是含于$\Omega$内半径为$a$, 中心在$(x,y)$的圆周, $D$为$\Gamma$的内部区域
(i). 如果对$\Omega$内任一点$(x,y)$都有
\begin{equation}\label{eq:pingjunzhi}
F(x,y)=\frac{1}{\pi a^{2}}\iint_{D}F(u,v)dudv
\end{equation}
证明$F(x,y)$在$\Omega$中连续，且具有任意阶偏导数.
(ii). 如果(\ref{eq:pingjunzhi})对任意$a>0$都成立. 证明$F(x,y)$是$\Omega$中的调和函数.即$F$满足
\begin{equation*}
\Delta F=\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}\equiv 0.
\end{equation*}

 

4. 设$f$在$[0,1]$上为正的连续函数, 证明
\begin{equation*}
1\leq \int_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)}\int_{0}^{1}f(x)dx\leq \frac{(m+M)^{2}}{4mM},
\end{equation*}
其中$m,\,M$分别为$f(x)$在$[0,1]$上的最小值和最大值.

 

5. 证明Poincar\'{e}不等式: 设函数$f(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$在闭区域
\begin{equation*}
D:\,\,a\leq x\leq b,\,\,\psi(x)\leq y\leq \phi(x),
\end{equation*}
上连续, 其中$\psi,\phi$在$[a,b]$上连续且$f(x,\psi(x))=0$, 则存在常数$K$, 使得
\begin{equation*}
\iint_{D}f^{2}(x,y)dxdy\leq K\iint_{D}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}dxdy.
\end{equation*}

 

6. 设$\Omega$是$\mathbb{R}^{2}$中有界闭区域, $u(x,y)$在$\Omega$上连续且恒取正值, 定义
\begin{equation*}
\Phi_{p}(u)=\left(\frac{1}{|\Omega|}\iint_{\Omega}u^{p}dxdy\right)^{\frac{1}{p}}
\end{equation*}
其中$|\Omega|$是$\Omega$的面积, 证明:
(i). $$\lim_{p\to+\infty}\Phi_{p}(u)=\max_{\Omega}\,u,$$
(ii). $$\lim_{p\to-\infty}\Phi_{p}(u)=\min_{\Omega}\,u,$$
(iii). $$\lim_{p\to 0}\Phi_{p}(u)=\exp\left\{\frac{1}{\Omega}\iint_{D}\ln u dxdy\right\}.$$

 

7. 设$f(x,y)\geq 0$,在$D:x^{2}+y^{2}\leq a^{2}$上有连续的一阶偏导数,边界上取值为零, 证明:
\begin{equation*}
\left|\iint_{D}f(x,y)dxdy\right|\leq \frac{1}{3}\pi a^{3}\max_{(x,y)\in D}\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}.
\end{equation*}

 

8. 设$\,\textbf{F}(x,y)=P(x,y)\textbf{i}+Q(x,y)\textbf{j}$在开区域$D$内处处连续可微,在$D$内任一圆周$C$上有
\begin{equation*}
\oint_{C}\textbf{F}\cdot \textbf{n} ds=0,
\end{equation*}
其中$\textbf{n}$是圆周外法线单位向量, 试证在$D$内恒有
\begin{equation*}
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0.
\end{equation*}

 

9. 证明平面上的Green第二公式：(课本总练习题第十六题P291)
\begin{equation*}
\iint_{G}\begin{vmatrix}\Delta u& \Delta v\\u & v\\\end{vmatrix}dxdy=\int_{\Gamma}\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial\textbf{ n}}&\frac{\partial v}{\partial \textbf{n}}\\u&v\\\end{vmatrix}ds,
\end{equation*}
这里$\Gamma$是光滑的封闭曲线, $G$是由$\Gamma$所围成的区域, $\frac{\partial u}{\partial\textbf{ n}}$和$\frac{\partial v}{\partial \textbf{n}}$是$u,\,v$沿着外法线方向的方向导数,$\,\Delta =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$.