一个三角不等式

有趣的不等式:

命题 1: 设$0<\alpha<1,x>0,y>0$,那么

$$(x+y)^{\alpha}\leq x^{\alpha}+y^{\alpha}$$

证明：设

$$F(x)=x^{\alpha}+y^{\alpha}-(x+y)^{\alpha}$$

那么

$$F'(x)=\alpha [x^{\alpha-1}-(x+y)^{\alpha-1}]\geq 0$$

所以$F(x)$在$[0,\infty)$单调递增,$F(x)\geq F(0),\,x>0$.因此命题1成立.

命题 2: 设 $0<\alpha<1, 0<x<y$,那么

$$y^{\alpha}-x^{\alpha}\leq (y-x)^{\alpha}$$

注: 用命题2可轻易得 $f(x)=x^{\alpha},0<\alpha<1$在$[0,\infty)$一致收敛.

证明: 设$y=x+r,r>0$，由命题 1即可得命题2成立.

命题3: 设$\alpha>1,x>0,y>0$,那么

$$(x+y)^{\alpha}\geq x^{\alpha}+y^{\alpha}$$

证明略.