高中数学题目解答

给某位小朋友的解答：

 

已知函数$f(x)$对任意的$a,b\in \mathbb{R}$都有 $f(a+b)=f(a)+f(b)-1$且当$x>0$时,$f(x)>1$.

(1) 求证$f(x)$是增函数.

(2) 若$f(-1)=0$且$f(9^{x}-2\cdot 3^{x})+f(2\cdot 9^{x}-k)>0$对任意$x\in [0,\infty)恒成立. 求实数$k$的取值范围。

解:

(1) 证明: 函数$f(x)$对任意的$a,b\in \mathbb{R}$都有 $f(a+b)=f(a)+f(b)-1$，令$a=b=0$那么可得$f(0)=1$.

             令$a=x,b=-x$可得 $f(x)+f(-x)=2.$

             不妨设$a>b$,那么$a-b>0,f(a-b)>1.$

$$f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)-2=f(a-b)-1>0,$$

             所以函数$f(x)$为单调递增函数。

(2) 由 $f(-1)=0$知 $f(-2)=2f(-1)-1=-1$. 由 (1)的证明过程知

$$f(9^{x}-2\cdot 3^{x})+f(2\cdot 9^{x}-k)=f(3\cdot 9^{x}-2\cdot 3^{x}-k)+1>0.$$

由单调增性质知

$$f(3\cdot 9^{x}-2\cdot 3^{x}-k)>-1=f(-2),$$

只需

$$3\cdot 9^{x}-2\cdot 3^{x}-k>-2.$$

令$y=3^{x}>0$,

$$k<3y^{2}-2y+2=g(y),(y>0).$$

$g(y)$在定义域$y>0$的最小值为$g(\frac{1}{3})=\frac{5}{3}$, 所以 $k<\frac{5}{3}.$