逆映射定理的应用

1. 设$f: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$且$f=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{n})$.$\|Jf(x)\|\leq \frac{1}{2},f(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{n})$. 证明: $g(x)=x+f(x)$是一一映射.

证明: 首先证明$g: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$为单射,设 $g(x_{1})=g(x_{2}),x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}^{n}$, 那么有
$$\|x_{1}-x_{2}\|=\|f(x_{1})-f(x_{2})\|\leq \max\|Jf(x)\|\cdot \|x_{1}-x_{2}\|\leq \frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|$$
从而得
$$\|x_{1}-x_{2}\|=0, x_{1}=x_{2}$$
满射: 即证明 $g(x)=x+f(x)=y$在$\mathbb{R}^{n}$中有解，即证明$g$（局部）可逆
$$\|Jg(x)\|=\|I+Jf(x)\|\geq \|I\|-\|Jf(x)\|\geq \frac{1}{2}$$
由逆映射定理知$g$可逆. 从而 $g$为满射.