分块矩阵在秩不等式中的应用

1. $$r(A+B)\leq r(A)+r(B);\, r(A-B)\leq r(A)+r(B)$$

 

 

2. $(A-aE)(A-bE)=0$.其中$b-a\neq 0$则$r(A-aE)+r(A-bE)=n$,并且矩阵$A_{n\times n}$可以对角化.

证法一:利用第一题.

 

证法二:利用分块矩阵

\begin{equation*}
\left( \begin{array}{cc}
A-bE & 0\\
0 & A-aE\\
\end{array}\right)
\end{equation*}

进行初等变换.