正整数的n次方求和
引理: (Abel分部求和法)
n∑k=1akbk=Anbn+n−1∑k=1Ak(bk−bk+1)
其中A_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}.
结论 1:
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{k(k+1)}{2}
结论 2:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+k)\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^{2} \end{align*}
移项整理便得结论2.
结论 3:
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(2k+1)\\ &=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}k^{3}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k+\frac{n^{3}}{3} \end{align*}
由结论1 结论2便得结论3.
用此方法可得任意\alpha为整数, 和式
\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}
的表达式.
也可以用贝努利求和公式计算。
命题:设f(x)为任意函数,则
\sum_{k=1}^{n}f(k)=\binom{n}{1}f(1)+\binom{n}{2}\Delta f(1)+\cdots+\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)+\cdots+\binom{n}{n}\Delta^{n-1}f(1)
其中\Delta是差分算子, \Delta f(x)=f(x+1)-f(x).
证明: 定义位移算子E f(x)=f(x+1),那么 E=I+\Delta,I为恒等算子.
\sum_{k=1}^{n}f(k)=\sum_{k=1}^{n}E^{k-1}f(1)=\sum_{k=1}^{n}(I+\Delta)^{k-1}f(1)
=\Delta^{-1}\left[(I+\Delta)^{n}-I\right]f(1)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)
取f(k)=k^{4},经计算
\sum_{k=1}^{n}k^{4}=\binom{n}{1}+15\binom{n}{2}+50\binom{n}{3}+60\binom{n}{4}+24\binom{n}{5}
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