【补充习题六】不定积分与定积分的计算

计算下面不定积分与定积分

1. 

$$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$

2.

$$I=\int x^{2}\sqrt{x^2+1}$$

3.

$$I=\int\csc^{2}xdx$$

4.

$$\int\frac{x\ln x}{(1+x^{2})^{2}}dx$$

5.配对积分法

$$I=\int\frac{\sin x dx }{2\sin x+3\cos x}$$

6.

$$I=\int \frac{dx}{1+x^{4}}$$

7.递推法

$$I_{n}=\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{n}}$$

8.递推法

$$I(m,n)=\int \cos^{m}x\sin^{n}xdx$$

9.设$n>2$定义

$$I_{n}=\int\frac{\sin nx}{\sin x}dx$$

证明：

$$I_{n}=\frac{2}{n-1}\sin (n-1)x+I_{n-2}$$

10.

$$I=\int\frac{x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-5x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx$$

11.

$$I=\int \frac{1-\sqrt{x+1}}{(x+1)(1+\sqrt[3]{x+1})}dx$$

12. $m,n$为自然数

$$B(m,n)=\int_{0}^{1}x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx$$

13.计算$$I=\int \frac{\sin x +\cos x}{1-\cos x\sin x}dx$$

注意到

$$\frac{\sin x+\cos x}{1-\cos x\sin x}=-2 \frac{-\sin x-\cos x}{1+(\cos x-\sin x)^{2}}$$

并且$$(\cos x-\sin x)'=-\sin x-\cos x $$

故

$$\int \frac{\sin x +\cos x}{1-\cos x\sin x}dx=-2\arctan (\cos x -\sin x)$$