【补充习题一】夹逼准则等求极限
求极限
1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$
提示：使用夹逼准则 $1！+2!+\cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$. 也可以直接使用Stolz定理
2.$$\lim_{n\to\infty}(1+x)(1+x^{2})\cdots(1+x^{2^{n}}),|x|<1$$
提示：乘以$(1-x)$.
3.$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$$
提示： 化简
4.$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{1+2}\right) \left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{1+2+\cdots+n}\right)$$
提示：通分，并利用求和公式化简。
5.$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) \left(1+\frac{2}{n^{2}}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$$
提示：夹逼准则,$x-\frac{1}{2}x^{2}<\ln (1+x)< x (x>0)$.
6.$$\lim_{n\to\infty}(\lambda+2 \lambda^{2}+\cdots+n\lambda^{n}),|\lambda|<1$$
提示：可求和.
7.$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$$
8.设$\lim_{x\to 0}f(x)=0$且$f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)=o(x),(x\to 0)$, 求证$f(x)=o(x), (x\to 0)$
提示：反复利用关系式.
9. 求极限$$\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n}(1-\frac{\lambda}{k}),0<\lambda<1$$
解：由基本不等式得
$$\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{\lambda}{k}\right) \leq \left(1- \frac{\lambda\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{n}\right)^{n}$$
进一步
$$e^{n\ln\left(1-\frac{\lambda\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{n}\right)}\sim e^{-\lambda \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}, n\to \infty$$
