Vieta定理

一元$n$次方程$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{a}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$$

 

根与系数的关系：展开次数相同的项系数相同即可。

 

常用:

(i). $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$

 

(ii). $x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$

 

应用：

 

(i) 设矩阵$A=(a_{ij})_{n \times n}$, 证明：$|x E-A |$的$n$个根之和为$tr(A)$. $x$称为矩阵的特征值.

 

(ii) 矩阵在相似变换下，特征值保持不变，且迹保持不变.