交错级数收敛性判断

设$a>0$为常数，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}$的收敛性如何？

 

解：由$$u_{n}=\frac{n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}=\frac{1}{n+(\frac{a}{n})^{n}n^{2}} \sim \frac{1}{n} ,n \to \infty$$

知该级数非绝对收敛。

设$f(x)=x+(\frac{a}{x})x^{2}$，则

$$f'(x)=1+(\frac{a}{x})^{x}x^{2}(\ln \frac{a}{x}-1+\frac{2}{x})$$

极限$$\lim_{x \to +\infty}f'(x)=1+\lim_{x\to +\infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln \frac{a}{x}=1-\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln x=1$$

所以存在$M>0$,当$x>M$时$f(x)$严格单调递增，从而$u_{n}$单调递减趋于零，由Leibnitz判别法知级数(条件)收敛。

注意有如下极限成立：

(i). $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}=0,a>0$$

 

(ii). $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{\beta}=0,a>0,\beta >0$$

 

(iii).  $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln x=0,a>0$$

证明：此处用夹逼准则, $\ln x < x $.