高考试题
一. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1/2$且$a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2}$
(1) 证明：$1\leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\leq 2$
(2) 设数列$\{a_{n}^{2}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,证明$\frac{1}{2(n+2)}\leq \frac{S_{n}}{n}\leq\frac{1}{2(n+1)}$
二. 在数列$\{a_{n}\}$中, $a_{1}=3$,$a_{n+1}a_{n}+\lambda a_{n+1}+u a_{n}^2=0$
(1) 若$\lambda=0,u=-2$, 求数列$\{a_{n}\}$的通项公式
(2) 若$\lambda = \frac{1}{k_{0}}(k_{0}\in N_{+},k_{0}\geq 2),u=-1$,证明 $2+\frac{1}{3k_{0}+1}<a_{k_{0}+1}<2+\frac{1}{2k_{0}+1}$
三. 设函数$f(x)=e^{mx}+x^{2}-mx$
(1) 证明: $f(x)$在$(-\infty,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增
(2) 若对任意的$x_{1},x_{2}\in [-1,1]$,都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq e-1$,求$m$的取值范围.
四. 已知函数$f(x)=\ln (x+1),g(x)=k x (k \in R)$
(1) 证明： 当$x>0$时,$f(x)<x$
(2) 证明：当$k<1$时存在$x_{0}>0$,使得任意的$x\in (0,x_{0})$恒有 $f(x)>g(x)$
(3) 确定$k$的所有可能只使得存在$t>0$,对任意的$x\in(0,t)$恒有$|f(x)-g(x)|<x^{2}$
五. 已知函数$f(x)=-2(x+a)\ln x +x^{2}-2ax-2a^{2}+a (a>0)$
(1). 设$g(x)$是$f(x)$的导函数，讨论$g(x)$的单调性
(2) 证明存在$a\in(0,1)$使得$f(x)\geq 0$在区间$(1,+\infty)$恒成立且$f(x)=0$在区间$(1,+\infty)$内有唯一解
六. 已知$a>0$函数$f(x)=e^{ax}\sin x (x\geq 0)$记$x_{n}$为$f(x)$的从小到大的第$n$个极值点，证明
(1) 数列$f(x_{n})$是等比数列
(2) 若$a\geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$,则对一切$x_{n}<|f(x_{n})|$恒成立
七. 设函数$f(x)=\ln (x+1)+a(x^{2}-x),a \in R$
(1) 讨论函数$f(x)$极值点的个数
(2) 任意$x,f(x)\geq 0$成立，求$a$的取值范围
八. 设$x_{n}$是曲线$y=x^{2n+2}+1$在点$(1,2)$处的切线与$x$轴交点的横坐标
(1) 求数列$\{x_{n}\}$之通项公式
(2) 记$T_{n}=x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdot x_{2n-1}^{2}$,证明$T_{n}\geq \frac{1}{4n}$
九. 数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}+2a_{2}+\cdot+na_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$
(1) 求数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$
(2) 令$b_{1}=a_{1}$，$b_{n}=\frac{T_{n-1}}{n}+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot+\frac{1}{n})a_{n} (n\geq 2)$，证明$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足$S_{n}<2+2\ln n$
十. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}\in N_{+},a_{1}\leq 36$且当$a_{n}\geq 18$时$a_{n+1}=2a_{n}$，其他$a_{n+1}=2a_{n}-36$,记集合$M=\{a_{n}|n\in N_{+}\}$
(1) 若$a_{1}=6$写出$M$中所有元素
(2) 若集合$M$存在一个元素是3的倍数则$M$中所有元素为3的倍数
(3) 求集合$M$中元素个数的最大值
十一. 已知集合$X=\{1,2,3\},Y_{n}=\{1,2,3,\cdot,n\}$，设$S_{n}=\{(a,b)| a\in X,b\in Y_{n}\}$并且$S_{n}$元素满足$a$整除$b$或$b$整除$a$， $f(n)$表示$S_{n}$所含元素的个数, 写出$f(n)$的表达式.
