求极限

求极限

$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx$$

解：作变量替换 $t=nx$

$$\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx=\frac{1}{\Gamma(n+1)}\int_{0}^{na}e^{-t}t^{n}dt$$

由$\Gamma$函数的收敛性知

$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx=1$$