【不等式】何承天

何承天不等式：

\[\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}\]

其中$a,b,c,d,m,n \in \mathbb{R}$.

 

Proof:这是一个有重要应用的不等式(变分迭代算法中)

先证明一个简单情况$m=n=1$时，设 $H(m,n)=\frac{ma+nd}{mb+nc}$

则

\[H(1,1)=\frac{b+d}{a+c}=\frac{b}{a}\frac{1+d/b}{1+c/a}\geq \frac{b}{a}\]

同理可得$H(1,1)\geq \frac{d}{c}$.

由原式

\[\frac{mb}{na}\leq \frac{nd}{nc}\]

故

\[\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}\]