（五）扩散问题

    关于扩散的研究是很重要的，例如粒子的扩散 热量的扩散等等，扩散现象为什么会发生而且不可逆？这是和热力学第二定律有关系的。扩散分为稳态扩散和非稳态扩散。所谓稳态扩散是指单位时间通过和扩散方向垂直的扩散通量不随时间变化而变化，非稳态扩散通量随时间变化而变化。研究扩散首先得知道扩散速率问题。生理学家Fick最早研究了并提出了他的著名的两个定律（注意定律与定理的区别）

 

Fick 第一定律(1885)：扩散是由于通量梯度引起的，假设单位面积扩散通量$J$和通量梯度称正比

\[J=-D\frac{dC}{dx}\]

其中$D$称为扩散系数，符号表示扩散由高浓度向低浓度，稳态时$J$和时间$t$无关。一般的扩散都是非稳态的($\frac{dC}{dt}\neq o$)，需要用到Fick第二定律。

Fick 第二定律:由下面的方程描述

\[\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}J=\frac{\partial}{\partial x}(D\frac{\partial C}{\partial x})\]

假设扩散速率与位置不相关（对位置不敏感）则

\[\frac{\partial C}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}\]

对高维的扩散用梯度算子和Laplace算子替代空间一阶导数和二阶导数即可。

扩散方程是偏微分方程（抛物型），需要给他加一些初边值条件方可求解。关于方程的提法可以参看偏微分方程的教程。

 

热传导方程：

在推导热传导方程的过程中用到了 Fourier热传导定律实际上是Fick第一定律在热的扩散中的一种特殊应用。

初值问题可以使用Fourier变换方法求解，赋予初边值条件，我们可以用分离变量法求解。

 

粒子随机游走：设粒子$t$时刻位于$x_{j}$位置的概率密度函数为$W_{j}(t)$，粒子经$\Delta t$时刻运动到邻近的位置，且向左和向右跳跃的概率相同则有

\[W_{j}(t+\Delta t)=\frac{1}{2}W_{j-1}(t)+\frac{1}{2}W_{j+1}(t)\]

利用Taloy展开

$W_{j}(t+\Delta t)$在$t$处展开

\[W_{j}(t+\Delta t)=W_{j}(t)+\Delta t \frac{\partial W_{j}}{\partial t}+(\Delta t)^{2}\frac{\partial^{2}W_{j}}{\partial t^{2}}+\cdots+\cdots\]

$W_{j-1}(t)$和$W_{j+1}(t)$在$j$处展开

\[W_{j-1}(t)=W_{j}(t)-\Delta x \frac{\partial W_{j}}{\partial x}+(\Delta x)^{2}\frac{\partial ^{2}W_{j}}{\partial x^{2}}+\cdots+\cdots\]

\[W_{j+1}(t)=W_{j}(t)+\Delta x \frac{\partial W_{j}}{\partial x}+(\Delta x)^{2}\frac{\partial ^{2}W_{j}}{\partial x^{2}}+\cdots+\cdots\]

将上面三式都代入到守恒律中省略到一些高阶项就得到方程(这样做是否有道理？)

\[\frac{\partial W}{\partial t}=K\frac{\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}\]

其中$K=\lim_{\Delta x \to 0,\Delta t \to 0}\frac{(\Delta x)^{2}}{2\Delta t}$

 

 Remark:上述粒子的随机游走模型是很粗糙的，我们将利用连续时间变量的随机游走(CTRW)模型更好地研究扩散以及反应扩散问题。