（二）分数阶微积分

2.1 分数阶微积分的历史

分数阶微积分已有300多年的历史，最早由L'Hospital 1695年9月30号在给Leibnitz的信件中提出，经Euler,Lagrange,Lacroix,Fourier,Liouville,Riemman,Weyl 等数学家的辛勤工作初步建立起来的,但数学理论仍有诸多不完善。分数阶导数进展缓慢，直至近代分数阶微积分才有了较大的发展，这要归功于各种应用学科例如流体力学、控制论、生物学等的发展人们逐渐认识到了分数阶微积分的实际意义，近年来，分数阶微积分广泛应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理特别是核磁共振成像、软物质研究、地震分析、分形理论、分数阶PID控制器等，研究分数阶微积分的学者与专著也日益增多。

分数阶微积分的优点体现在下面的几个方面:
1. 从数学上讲体现了历史发展的必然性。
2. 分数阶微积分具有记忆性。
3. 分数阶模型与现实世界更加吻合。
4. 与非线性模型比较,表达更加简洁。

2.2 分数阶导数的定义与计算
分数阶导数的定义有很多种，最常用的有Riemman-Liouville导数和Caputo导数,在经典的微积分理论中易见
$$D^{-n}f(t)=\frac{1}{(n-1)!}\int_{a}^{t}f(\tau)(t-\tau)^{n-1}d\tau=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{a}^{t}f(\tau)(t-\tau)^{n-1}d\tau$$
因此，定义分数阶积分
$$D^{-\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\beta)}\int_{a}^{t}(t-\tau)^{\beta-1}f(\tau)d\tau,(\beta>0)$$
a. 若利用导数与积分的关系（先积分后求导）,设$m=[\beta]+1$
$$D^{\beta}=D^{m}D^{-(m-\beta)}$$
定义非整数Riemman-Liouville分数阶导数为
$$_{a}^{RL}D_{t}^{-\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(m-\beta)}\frac{d^m}{dt^m}\int_{a}^{t}(t-\tau)^{m-\beta-1}f(\tau)d\tau$$
b. 若利用导数与积分的关系（先求到后积分）
$$D^{-\beta}=D^{-(m-\beta)}D^{m}$$
定义Caputo导数
$$_{a}^{C}D_{t}^{-\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(m-\beta)}\int_{a}^{t}(t-\tau)^{m-\beta-1}f^{(m)}(\tau)d\tau$$

Remark：其中$k(t,\tau)=(t-\tau)^{(m-\beta-1)}$称为记忆核函数.从上也可以看出Riemman分数阶导数和Caputo分数阶导数在数值计算可能会有所不同，因为一般$D^{-m-\alpha}D^{m}\neq D^{m}D^{-(m-\alpha)}$ 例如常函数的Caputo 型分数阶导数为0而Riemman 型分数阶导数不为0.Caputo 型分数阶导数要求$f(x)$具有$m$阶导数在数学上要求比Riemman 型分数阶导数要苛刻很多。由于Riemman 分数阶导数对函数$f(x)$ 要求条件较少更加便于数学理论研究，若$f(x)$具有$m+1$ 阶导数则由分部积分可得
$${}_{a}^{C}D_{t}^{-\beta}f(x)=\frac{f^{(m)}(a)(a-\tau)^{m-\beta}}{\Gamma(m-\beta+1)}+\frac{1}{\Gamma(m-\beta+1)}\int_{a}^{t}(t-\tau)^{m-\beta}f^{(m+1)}(\tau)d\tau$$
上式第一项含有整数阶导数的初始条件，在实际求解物理工程背景的微分方程初边值问题时，Caputo 分数阶导数的应用更为广泛。