随笔分类 - 好题赏析
摘要：求极限 1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$ 提示：使用夹逼准则 $1！+2!+\cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$. 也可以直接使用Stolz定理 2.$$\lim_{n\to\infty}(1+x)(1+x^{2})\
阅读全文
摘要：求$f(x)=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x>0)$的斜渐近线 (i).斜渐近线系数 $$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{x}=e^{-1}$$
阅读全文
摘要：求下列极限 (1).$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{k\pi}{n}$$ (2).$$\lim_{n\to \infty}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\cdots+\frac{1
阅读全文
摘要：节选自 汪林《实分析中的反例》 在$[0,1]$上定义函数 $$g(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x}, x\neq 0$$ 补充定义$g(0)=0$, 则函数$g(x)$为连续函数，图形如下。 导函数可求得 $$g'(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{
阅读全文
摘要：证明：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (1+\cos x)dx=-\frac{\pi}{2}\ln 2 +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\sin x}dx$$Proof.\begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi...
阅读全文
摘要：1. 设常数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$满足$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证:$$\lim_{x\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin \sqrt{x+k}$$Proof. 首先易证结论$$\lim_{x \to \...
阅读全文
摘要：一. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1/2$且$a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2}$(1) 证明：$1\leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\leq 2$(2) 设数列$\{a_{n}^{2}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,证明$\frac{1}{2...
阅读全文
摘要：转自 http://pxchg1200.is-programmer.com/?page=7
阅读全文
摘要：证明：$$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n\ln n}{n}=\rho \ln 2-\frac{\ln ^2 2}{2}$$其中$\rho$是Euler常数.转自http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3209...
阅读全文
摘要：设 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 是实数，且满足 $a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$, 证明序列 $\{\frac{a_{n}}{n^{2}}\}$ 收敛，并求极限.证明关键是利用生成函数法求数列 $a_{n}$ 的通项公式.转自：http://pxchg...
阅读全文
摘要：转载自http://www.zyymat.com/peking-university-2015-mathematics-postgraduate-entrance-examination-mathematics-basic-examination-1.html
阅读全文
摘要：已知 theta 函数 ($s>0$)$$\theta (s)=\sum_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^{2}s}$$满足函数方程$$s^{-\frac{1}{2}}\theta (1/s)=\theta (s)$$问题：问满足上述函数方程的非零解有哪些？是否唯一？M....
阅读全文