随笔分类 - 好题赏析
摘要：本文给出 郑继明等《数值分析》全部习题解答，采用word加公式编辑器排版，200元一份，也可单独购买每一题，一题2元，付款后联系邮箱 zhangwenbiao.math@foxmail.com
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摘要：函数$f(x)$在$[0，+\infty)$上二阶可导，$f^{'}(0)≥0$， $f(0)≥0$ ，$f^{''}(x)≥f(x)$.则$f(x)≥f(0)+f^{'}(0)x$. 证.(Hansschwarzkopf ) 令$D=\frac{d}{dx}$, 则$D^2=\frac{d^2}{
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摘要：有趣的不等式: 命题 1: 设$0<\alpha<1,x>0,y>0$,那么 $$(x+y)^{\alpha}\leq x^{\alpha}+y^{\alpha}$$ 证明：设 $$F(x)=x^{\alpha}+y^{\alpha}-(x+y)^{\alpha}$$ 那么 $$F'(x)=\alp
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摘要：证明: $$\lim_{n\to+\infty}\cos^{n}\left(\frac{1}{x}\right)dx=0$$ 证明：作变量替换 $u=\frac{1}{x}$, 则有\begin{align*}\int_{1}^{\infty}\left|\frac{\cos^{n}u}{u^{2}
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摘要：1. 设$f: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$且$f=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{n})$.$\|Jf(x)\|\leq \frac{1}{2},f(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{n})$. 证明: $g(x)=x+f(x)$是
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摘要：设$f(x)$于$[0,1]$上严格单调递减，且$f(0)=1,f(1)=0$,证明: $$\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx \sim \int_{0}^{\delta}f^{n}(x), n\to \infty$$ 其中任意$\delta \in [0,1]$. 解答： 注意到$$\i
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摘要：63. (Newton)设$x$为整数并且$0\leq x\leq n$，试证 $$f(x)=f(0)+\binom{x}{1}\Delta f(0)+\binom{x}{2}\Delta^{2}f(0)+\cdots+\binom{x}{n}\Delta^{n}f(0)$$ 64.(牛顿-格雷戈里
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摘要：命题 1： 定义区间$I$上的Schwarz导数$$D^{2}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}$$若$D^{2}f(x)\geq 0$则$f(x)$为$I$上的下凸函数，若$D^{2}f(x)\leq 0$，则$f(x)$为$I$
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摘要：命题： 设$f(x)$为$[a,b]$上的可积函数，且$m\leq f(x) \leq M$, 设$\phi(x)$为$[m,M]$上的连续下凸函数,则$$\phi\left(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_{
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摘要：分部求和法与积分中值定理 42. (分部积分法)设黎曼-斯提捷积分(Riemman-Stieltjes)积分$\int_{a}^{b}\alpha(x)df(x)$存在,则$\int_{a}^{b}f(x)d\alpha(x)$也存在并且有分部积分公式$$\int_{a}^{b}f(x)d\alph
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摘要：32.求证:(i)$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\ln 2$$(ii)$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}$$证明:$$\sum_{1}^{\infty
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摘要：见链接 阿贝尔分布求和法的应用(四) - 张文彪 - 博客园http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5731242.html
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摘要：14.(阿贝耳定理) 设$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}=s$. 则$\lim_{x\to 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s$.证明: 容易看出$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}
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摘要：1. (和差变换公式)设$m<n$.则$$\sum_{k=m}^{n}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$证明：直接计算即可。\begin{align*}\sum_{k=
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摘要：我们曾在帖子讨论过，一个连续函数可导但是导函数不连续的一个例子： http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5426699.html 此函数为$g(x)=x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)$,补充定义$g(0)=0$. 可计算得$g
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摘要：计算下面不定积分与定积分 1. $$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$ 2. $$I=\int x^{2}\sqrt{x^2+1}$$ 3. $$I=\int\csc^{2}xdx$$ 4. $$\int\frac{x\ln x}{(1+x^{2})^{2}}dx$$
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摘要：1. 证明$x>-1,x\neq 0$时，成立不等式（对数不等式） $$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$ Proof. 设$f(x)=\ln(1+x)$,由Lagrange中值定理知 $$\ln(1+x)-\ln(1+0)=\frac{x}{1+\theta x},0<\the
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摘要：所谓“凑微分”是将 $$\alpha(x)f(x)+\beta(x)f'(x)$$ 表示成$[G(x)f(x)]'$形式，其它项均与$f(x)$无关。例如： $$f(x)+xf'(x)=[xf(x)]'$$ (1). 若$\beta'(x)=\alpha(x)$，则 $$\alpha(x)f(x)+
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摘要：1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)\in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导，那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t. $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$
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