随笔分类 - 数学分析
数学分析 实分析 复分析 泛函分析
摘要：设非负整数 $a,b$ 使得$\frac{a^{2}+b^{2}}{1+ab}$为整数，求证这个整数必是某一整数的平方。证明：替代法。
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摘要：$$\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{x^x}\mathrm dx\lt2\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{x^x}$$
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摘要：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=32832&page=1&extra=#pid150934
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摘要：定理 设$f$是$R$上的连续函数，且$f(x+2\pi)=f(x)$, 则成立$$\lim_{N\to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(x+n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$对任意$x\in R$成立。本题中令...
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摘要：设 $f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的连续周期函数，一个正周期为$T$,且$\int_{0}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$收敛，证明$\int_{0}^{T}f(x)dx=0$
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摘要：1.计算$|p|<\frac{1}{2}$时$$\int_0^{+\infty}\left(\frac{x^p-x^{-p}}{1-x}\right)^2\mathrm{d}x=2(1-2p\pi\cot2p\pi)$$2. 证明：$$\int_0^{+\infty}\sin\left(x^3+\f...
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摘要：\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\frac{\ln k}{k}&=2\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{\ln 2k}{2k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\\&=\ln 2\sum_{k=1}^{[\
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摘要：求$(\cos x+2)(\sin x+1)$的最大值解： 设$$f(x)=\cos x \sin x +\cos x+ 2\sin x +2$$令$t=\tan{\frac{x}{2}}$, 则$$\sin x=\frac{1}{1+t^{2}}; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+...
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摘要：设 $X$ 为实赋范空间，$f_{1},f_{2},\cdots,f_{n}\in X$ 且线性无关，则存在 $\lambda>0$, 使得\[\sum_{k=1}^{n}|\alpha_{k}|\leq \lambda \sum_{k=1}^{n}\|\alpha_{k}f_{k}\|\]其中 $...
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摘要：设 $p>0,q>0，a>0,b>0$ 且 $1/p+1/q=1$ 有\[ab\leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\]证明：设\[f(b)=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}-ab\]则\[f'(b)=b^{q-1}-a\]故当 $b_...
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摘要：求极限$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx$$解：作变量替换 $t=nx$$$\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{a}(e^{-x}x)^{n}dx=\frac{1}{\Gamma(n+...
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摘要：计算积分\[\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx=\frac{\pi^{2}}{12}\]解：\begin{align*}\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\...
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摘要：设 $\lambda_{i}=\frac{y_{i}^{2}}{\sum_{i}^{n} y_{i}^{2}}$, 则 $\sum_{i}^{n}\lambda_{i}=1$.考虑函数 $f(x)=x^2$ , $f''(x)=2>0$,利用凸不等式$$f(\sum_{i}^{n}\lambda_{...
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摘要：设$f(x)\in C[0,1]$\[ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|f(x)+f(y)|dxdy \geq \int_{0}^{1}|f(x)|dx \]
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