随笔分类 - 数学分析
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摘要：分部求和法与积分中值定理 42. (分部积分法)设黎曼-斯提捷积分(Riemman-Stieltjes)积分$\int_{a}^{b}\alpha(x)df(x)$存在,则$\int_{a}^{b}f(x)d\alpha(x)$也存在并且有分部积分公式$$\int_{a}^{b}f(x)d\alph
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摘要：32.求证:(i)$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\ln 2$$(ii)$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}$$证明:$$\sum_{1}^{\infty
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摘要：见链接 阿贝尔分布求和法的应用(四) - 张文彪 - 博客园http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5731242.html
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摘要：14.(阿贝耳定理) 设$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}=s$. 则$\lim_{x\to 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s$.证明: 容易看出$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}
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摘要：引理: (Abel分部求和法) $$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$其中$A_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 结论 1: $$\sum_{k=1}^{n}
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摘要：1. (和差变换公式)设$m<n$.则$$\sum_{k=m}^{n}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$证明：直接计算即可。\begin{align*}\sum_{k=
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摘要：计算下面不定积分与定积分 1. $$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$ 2. $$I=\int x^{2}\sqrt{x^2+1}$$ 3. $$I=\int\csc^{2}xdx$$ 4. $$\int\frac{x\ln x}{(1+x^{2})^{2}}dx$$
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摘要：1. 证明$x>-1,x\neq 0$时，成立不等式（对数不等式） $$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$ Proof. 设$f(x)=\ln(1+x)$,由Lagrange中值定理知 $$\ln(1+x)-\ln(1+0)=\frac{x}{1+\theta x},0<\the
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摘要：所谓“凑微分”是将 $$\alpha(x)f(x)+\beta(x)f'(x)$$ 表示成$[G(x)f(x)]'$形式，其它项均与$f(x)$无关。例如： $$f(x)+xf'(x)=[xf(x)]'$$ (1). 若$\beta'(x)=\alpha(x)$，则 $$\alpha(x)f(x)+
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摘要：1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)\in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导，那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t. $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$
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摘要：求极限 1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$ 提示：使用夹逼准则 $1！+2!+\cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$. 也可以直接使用Stolz定理 2.$$\lim_{n\to\infty}(1+x)(1+x^{2})\
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摘要：求$f(x)=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x>0)$的斜渐近线 (i).斜渐近线系数 $$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{x}=e^{-1}$$
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摘要：求下列极限 (1).$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{k\pi}{n}$$ (2).$$\lim_{n\to \infty}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\cdots+\frac{1
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摘要：节选自 汪林《实分析中的反例》 在$[0,1]$上定义函数 $$g(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x}, x\neq 0$$ 补充定义$g(0)=0$, 则函数$g(x)$为连续函数，图形如下。 导函数可求得 $$g'(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{
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摘要：1. 设常数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$满足$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证:$$\lim_{x\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin \sqrt{x+k}$$Proof. 首先易证结论$$\lim_{x \to \...
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摘要：设$a>0$为常数，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}$的收敛性如何？解：由$$u_{n}=\frac{n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}=\frac{1}{n+(\frac{a}{n})^{n}n^{2}...
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摘要：求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2}x^{n}$.解: 逐项积分 $f(x)=\frac{x+1}{(1-x)^{3}}$。
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