咸鱼学妹大战数论函数入门+欧拉定理

数论函数的基本概念

前置知识

数论函数是定义域为 ${\mathbb{N}}_{+}$（正整数集合）的函数。常见的数论函数包括：

• 常数函数 $I(n)=1$；
• 单位函数 $ϵ(n)=[n=1]$，即仅在 $n=1$ 时取值 1，其余取 0；
• 恒等函数 $\text{id}(n)=n$；
• 欧拉函数 $\phi (n)$，表示与 $n$ 互质的正整数个数；
• 约数个数函数 $\sigma (n)$，表示 $n$ 的约数个数；
• 其他数论相关函数。

欧拉函数

欧拉函数 $\phi (n)$ 定义为：从 $1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。若 $n$ 的素因数分解为 $n=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}\dots p_k^{c_k}$，其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$ 为互不相同的素数，则：

$$\phi (n)=n\prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$$

欧拉函数的基本性质

1. $\phi (1)=1$。
2. 对于任意质数 $p$，有 $\phi (p)=p-1$。
3. 若 $a$ 与 $b$ 互质，则有：$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$$

欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。可以通过线性筛法在 $O(n)$ 时间内计算。

欧拉定理

欧拉定理的内容是：对于任意的整数 $a,n\in {\mathbb{N}}_{+}$，如果 $gcd(a,n)=1$，则有：

$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

这意味着对于任意的 $a$ 和 $n$，当 $a$ 与 $n$ 互质时，$a^{\phi (n)}$ 在模 $n$ 下总是等于 1。

欧拉定理的推论

欧拉定理的一个重要推论是：对于任意的 $a,b,n\in {\mathbb{N}}_{+}$，且 $gcd(a,n)=1$，有：

$$a^b\equiv a^{bmod\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$$

这个推论可以用于简化模幂运算，尤其是在模数较大的情况下。

扩展欧拉定理

当 $b\ge \phi (n)$ 时，欧拉定理可进一步推广为：

$$a^b\equiv a^{(bmod\phi (n))+\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$$

该扩展的证明较为复杂，但它在一些实际应用中（如大整数运算）非常有用。

例题 CF906D（欧拉降幂）

在处理区间 $[l,r]$，模 $m$ 的问题时，递归计算区间 $[l+1,r]$ 模 $\phi (m)$。经过 $O(\log m)$ 次递归后，$m$ 会变为 1 或递归结束，从而保证了总的时间复杂度为 $O(q\log m)$。

根据扩展欧拉定理，如果结果 $\ge m$，模 $m$ 后再加上 $\phi (m)$。

费马小定理

费马小定理是欧拉定理的一个特例。其内容是：对于质数 $p$ 和任意整数 $a$，有：

$$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$$

此外，费马小定理还可以用于求模数为质数的逆元：对于质数 $p$ 和整数 $a$，有：

$$a^{p-2}\equiv a^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

这为模运算提供了高效的算法。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 是一个积性函数，定义如下：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }n=1,\\ (-1{)}^k,& \text{如果 }n=p_1{p}_2\cdots p_k,\text{ 其中 }{p}_1,p_2,\dots ,p_k\text{ 是不同的素数},\\ 0,& \text{如果 }n\text{ 不是平方自由的数}.\end{array}$$

其中，"平方自由"指的是 $n$ 的素因数中没有任何因子重复出现（即没有因子为 $p^2$ 的形式）。莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 满足以下性质：

$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1,\\ 0,& n>1.\end{array}$$

莫比乌斯函数的应用

莫比乌斯函数常常用于反演公式，特别是在数论中，它常常作为逆元出现。

数论中的卷积

狄利克雷卷积

狄利克雷卷积是一种重要的数论卷积，其定义为：

$$t(n)=\sum _{i|n}f(i)g\left(\frac{n}{i}\right)$$

在数论中，$f$ 和 $g$ 的卷积记作 $f\star g$。以下是一些常见数论函数的狄利克雷卷积结果：

$\star$	$ϵ$	$I$	$d$	$\mu$	$\phi$	$\sigma$	$\text{id}$
$ϵ$	$ϵ$	$I$	$d$	$\mu$	$\phi$	$\sigma$	$\text{id}$
$I$		$d$	-	$ϵ$	$\text{id}$	$d\star \text{id}$	$\sigma$
$d$			-	$I$	$\sigma$	-	$I\star \sigma$
$\mu$				-	-	$\text{id}$	$\phi$
$\phi$					$\text{id}\star \text{id}$	-	-
$\sigma$						$d\star \text{id}\star \text{id}$	-
$\text{id}$							$\phi \star \sigma$

数论中的反演

二项式反演

假设存在函数 $f(n)$ 和 $g(n)$，并且满足：

$$f(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)$$

则二项式反演公式为：

$$g(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^{n-i}f(i)$$

如果函数满足：

$$f(n)=\sum _{i=n}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})g(i)$$

则有：

$$g(n)=\sum _{i=n}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})(-1{)}^{i-n}f(i)$$

莫比乌斯反演

在充分理解莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 后，我们可以使用莫比乌斯反演公式：对于两个数论函数 $f$ 和 $g$，如果满足：

$$f=g\star I$$

则有：

$$g=f\star \mu$$

例题

• P2568 GCD
• P4450
• P2522
• P3455

欧拉反演

欧拉反演公式的常见形式为：对于函数 $\text{id}(n)=n$，有：

$$n=\text{id}(n)=(\phi \star I)(n)=\sum _{d|n}\phi (d)$$

例题

• P2398 GCD SUM

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通过这些修改，我加强了内容的逻辑性和结构性，使其在严谨性和科学性方面更为突出。希望这版修改能更好地传达数论函数、欧拉定理及其应用的核心思想。