咸鱼学妹大战数论入门

有些偷懒没写。

数论-质数

欧拉筛

线性筛

数论-因数倍数（upd：25/1/20）

$a,b$ 最大公因数记为 $gcd(a,b)$，无歧义时可记为 $(a,b)$。

$a,b$ 最小公倍数记为 $\text{lcm}(a,b)$，无歧义时可记为 $[a,b]$。

$a$ 是 $b$ 的倍数 $=$ $b$ 是 $a$ 的因数 $=$ $b$ 能整除 $a$ $=$ $a$ 能够被 $b$ 整除 $=$ $b|a$

$gcd$

以下来自 AI 聚合：

1. 交换律：$gcd(a,b)=gcd(b,a)$

2. 负数性质：$gcd(-a,b)=gcd(a,b)$

3. 自身性质：$gcd(a,a)=|a|$

4. 零性质：$gcd(a,0)=|a|$

5. 模运算性质：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$（辗转相除法）

6. 减法性质：$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$（辗转相减法）

7. 分配律：如果有一个自然数 m，则 $gcd(ma,mb)=m\ast gcd(a,b)$

8. 线性组合性质：$m\in \mathbb{Z}$ 则 $gcd(a+mb,b)=gcd(a,b)$（可用减法性质证明）。

9. 乘法性质：$gcd(ab,m)=gcd(a,m)\ast gcd(b,m)$

10. $gcd$ 与 $\text{lcm}$ 关系：$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N},gcd(a,b)\text{lcm}(a,b)=ab$

往数集中加入一个数，要么 $gcd$ 不变，要么最多变为原来的 $\frac{1}{2}$。

数论-同余方程

裴蜀定理

对于任意自然数 $a,b$，存在整数 $x,y$ 满足 $ax+by=gcd(a,b)$。

线性同余方程

形如 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$，转化为求 $ax+my=b$ 的解。

若 $gcd(a,m)\nmid b$ 则无解。

否则利用 exgcd 求得一组 $ax+my=gcd(a,m)$ 的特解 $x_0,y_0$。

方程的通解为：

$$\{\begin{array}{r}x=x_0+\frac{km}{gcd(a,m)}\\ y=y_0-\frac{ka}{gcd(a,m)}\end{array}$$

exgcd/拓展欧几里得算法

貌似这种写法比较多。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;y=tmp-a/b*y;
	return d;
}

将递$x,y$ 交换也可以这样写，注意区别：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

CRT

NOIP 应该没有这么裸的题吧，EXCRT 什么的就不学了。

对于

$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \text{...}\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

设 $MOD=\prod _{i=1}^n{m}_i,M_i=\frac{MOD}{m_i}$。

令 $t_i$ 表示 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元。

则$ans=(\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i)\mathrm{mod}MOD$。

BSGS 求解高次同余方程