Note - 概率与期望

[ZOJ3329]One Person Game

期望倒着推。

设 \(f_i\) 表示期望还需多少次结束。

我们可以得到式子

\[f_i=(\sum f_{x+i}p_i)+f_0p_0+1 \tag{$1$} \]

发现每一项都与 f0 有关。

我们直接换元得

\[f_i=a_i f_0+b_i\tag{$2$} \]

将 \((2)\) 代入 \((1)\) 得

\[\begin{gather} f_i=(\sum(a_{x+i}f_0+b_{x+i})p_i)+f_0p_0+1\tag{$3$}\\ =f_0(p_0+\sum a_{x+i}p_i)+(\sum b_{x+i}p_i)+1\tag{$4$} \end{gather} \]

其中

\[\begin{gather} a_x=p_0+\sum a_{x+i}p_i\tag{$5$}\\ b_x=(\sum b_{x+i}p_i)+1\tag{$6$} \end{gather} \]

到这步就可以递推 \(a,b\) 了，我们解方程 \(f_0=a_0f_0+b_0\) 即可。