咸鱼学妹大战概率与期望

[ZOJ3329]One Person Game

期望倒着推。

设 $f_i$ 表示期望还需多少次结束。

我们可以得到式子

$$\begin{array}{}\text{(}1\text{)}& f_i=(\sum f_{x+i}{p}_i)+f_0{p}_0+1\end{array}$$

发现每一项都与 f0 有关。

我们直接换元得

$$\begin{array}{}\text{(}2\text{)}& f_i=a_i{f}_0+b_i\end{array}$$

将 $(2)$ 代入 $(1)$ 得

$$\begin{array}{}\text{(}3\text{)}& f_i=(\sum (a_{x+i}{f}_0+b_{x+i})p_i)+f_0{p}_0+1\text{(}4\text{)}& =f_0(p_0+\sum a_{x+i}{p}_i)+(\sum b_{x+i}{p}_i)+1\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}5\text{)}& a_x=p_0+\sum a_{x+i}{p}_i\text{(}6\text{)}& b_x=(\sum b_{x+i}{p}_i)+1\end{array}$$

到这步就可以递推 $a,b$ 了，我们解方程 $f_0=a_0{f}_0+b_0$ 即可。