咸鱼学妹大战组合数学

组合数

Lucas 定理

$p$ 为质数。

(\binom{n}{k}) \equiv (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{k}{p} ⌋}) (\binom{n \mod p}{k \mod p}) (\mod p)

卡特兰数

（必会）常见公式：

H_{n} = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n - 1})

补充

从 $(0, 0)$ 走到 $(n, m)$ ，不碰到直线 $y = x + b$ 的方案数：

(\binom{n + m}{n}) - (\binom{n + m}{n + b})

意义为沿着直线翻折，越过直线的路径对称域从翻折顶点到终点的路径。（翻折到的点以 $y = x + b$ 和 $x = n$ 的交点为横坐标， $y = x + b$ 和 $y = m$ 交点为纵坐标， $(m - b, n + b)$ ）

斯特林数

第二类斯特林数

在小球与盒子那道模板题中见到的， ${\binom{n}{m}}$ 表示将 $n$ 个互相区分的元素，划分为 $m$ 个互不区分的非空子集的方案数。

（必会）递推式：

{\binom{n}{m}} = m {\binom{n - 1}{m}} + {\binom{n - 1}{m - 1}}

通项公式： $n, m$ 较大时使用，需要二项式反演来证，参 OI Wiki。

{\binom{n}{m}} = \sum_{i = 0}^{m} \frac{(- 1)^{m - i} i^{n}}{i! (m - i)!}

应用

若要求非空子集互相区分，直接乘上 $m!$ 即可。

组合意义

例题

[CF1842G] Tenzing and Random Operations

[AGC001E] BBQ Hard

二项式定理

内容：

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{k} y^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{n - k} y^{k}

应用：化简式子。

形式 $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{k} y^{n - k}$ 要想到化为左式。

对于形式 $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}$ ，要想到化为 $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{k} 1^{n - k} = (x + 1)^{n}$ 。

二项式反演

如果满足 $f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) g (i)$

那么有

g (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (- 1)^{n - i} f (i)

如果满足 $f (n) = \sum_{i = n}^{m} (\binom{i}{n}) g (i)$ 那么有 $g (n) = \sum_{i = n}^{m} (\binom{i}{n}) (- 1)^{i - n} f (i)$

容斥与反演杂题

容斥原理

P2567 [SCOI2010] 幸运数字

预处理幸运号码，显然 $[l, r]$ 区间内是 $x$ 倍数的近似幸运号码数量是 $⌊ \frac{r}{x} ⌋ - ⌊ \frac{l - 1}{x} ⌋$ 。

然而两个幸运号码对应的近似幸运号码可能有交集，考虑容斥。

设 $c_{i}$ 为任意 $i$ 个幸运号码 $lcm$ 的倍数的数的个数，显然答案为 $c_{1} - c_{2} + c_{3} - c_{4} + \dots$ 。

P6076 [JSOI2015] 染色问题

同时对行、列、颜色有至少的限制。

考虑容斥。

从颜色出发，如果求出了最多使用 $i$ 种颜色的方案数 $f_{i}$ ，答案就是：

\sum_{i = 0}^{c} (- 1)^{c - i} (\binom{c}{i}) f_{i}

已经确定了这 $i$ 这种颜色，我们很方便求出某一行某 $j$ 列为空，其它任选且不全为空的方案数：

(i + 1)^{m - j} - 1

而要求每一列不为空，我们仍需要容斥：

f_{i} = \sum_{j = 0}^{m} (- 1)^{j} (\binom{m}{j}) ((i + 1)^{m - j} - 1)^{n}

P10597 BZOJ4665 小 w 的喜糖

CF451E Devu and Flowers

CF997C Sky Full of Stars

式子好长……

设 $f_{i, j}$ 为钦定 $i$ 个颜色相同行和 $j$ 个颜色相同列的方案数。

答案为 $\sum_{i, j = 0, i + j > 0}^{n} (- 1)^{i + j + 1} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}) f_{i, j}$ 。

若 $j = 0$ ，则 $f_{i, j} = 3^{i + (n - i) * n}$ ， $j = 0$ 同理。

否则 $f_{i, j} = 3^{(n - i) * (n - j) + 1}$ 。

但是 $n$ 较大，我们单独来算 $i, j$ 不为 $0$ 的情况：

\begin{array}{r} (1) & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j + 1} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}) 3^{(n - i) * (n - j) + 1} \\ (2) & = - 3^{n^{2} + 1} \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 3^{- i n} \sum_{j = 1}^{n} (\binom{n}{j}) (- 3^{- n + i})^{j} \end{array}

右边这一堆 $\sum_{j = 1}^{n} (\binom{n}{j}) (- 3^{- n + i})^{j}$ 很接近二项式定理化简式子的经典形式。

\begin{array}{r} (3) & = - 3^{n^{2} + 1} \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 3^{- i n} \sum_{j = 1}^{n} (\binom{n}{j}) 1^{n - j} (- 3^{- n + i})^{j} \\ (4) & = - 3^{n^{2} + 1} \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 3^{- i n} ((\sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) 1^{n - j} (- 3^{- n + i})^{j}) - 1) \\ (5) & = - 3^{n^{2} + 1} \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 3^{- i n} ((- 3^{i - n} + 1)^{n} - 1) \end{array}

广义容斥原理

令计数函数 $α (x)$ 表示至少具有 $x$ 个性质的元素个数， $β (x)$ 表示恰好具有 $x$ 个性质的元素个数。

定理（性质总数为 $n$ ）：

β (m) = \sum_{i = 0}^{n - m} (- 1)^{i} (\binom{m + i}{m}) α (m + i)

β (0) = \sum_{i = n}^{n} (- 1)^{i} α (i)

Min-Max 容斥

max (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{∣ T ∣ + 1} min (T)

在期望下也适用：

E (m a x (S)) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{∣ T ∣ + 1} E (m i n (T))

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posted @ 2024-08-14 20:35 咸鱼学妹阅读(26) 评论(0) 编辑收藏举报

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