Note - 树分治（点分治、点分树）

陈年笔记，现在可能不会了。

点分治

Q1：基本思想是什么？

将路径分为经过 \(u\) 和不经过 \(u\) 的两类，在每次分治中计算经过 \(u\) 的路径数量。

Q2：如何统计？

1. 一般：遍历 \(u\) 的每个子节点 \(v\)，把 \(v\) 子树内的节点记录下来，得到答案并更新数组。
2. 容斥：把 \(u\) 子树内的节点都记录下来排序，双指针得到的 \(u\) 子树内点对数量，减去每个子节点 \(v\) 子树内的点对数量，即为经过 \(u\) 的路径的答案。*

Q3：如何保证复杂度？

每次 \(O(n)\) 寻找重心，子树大小降为最大 \(\lfloor size/2 \rfloor\)，大概 \(\log(n)\) 层。每层遍历大概 \(n\) 个节点，复杂度上限 \(O(n\log(n))\)。

Q4：用途是什么？

统计树上满足条件的路径（点对）个数（或点权和等），一般条件和距离相关。

void findrt(int u,int f){
	siz[u]=1;
	maxp[u]=0;
	for(int i=fir[u];i;i=nex[i]){
		int v=to[i];
		if(vis[v]||v==f) continue;
		findrt(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		maxp[u]=max(maxp[u],siz[v]);
	}
	maxp[u]=max(maxp[u],sum-siz[u]);
	if(maxp[u]<maxp[rt]) rt=u;
}
void dfz(int u){
	vis[u]=1;
	
	//计算！！！
	
	for(int i=fir[u];i;i=nex[i]){
		int v=to[i];
		if(vis[v]) continue;
		rt=0;
		sum=siz[v];
		findrt(v,u);
		dfz(rt);
	}
}

边分治

其实和点分治差不多。

点分树

Q1：基本思想是什么？

通过点分治的方法递归，每次的得到 \(v\) 子树内的重心与 \(u\) 相连，建出重构树。

Q2：特殊性质？

1. 最多 \(log(n)\) 层。
2. 重构树上的 LCA(x,y) 必定在原树 x 到 y 的路径上，有 \(dis_{x,y}=dis_{x,LCA(x,y)}+dis_{y,LCA(x,y)}\)。*

Q3：如何运用特殊性质？

点分树又被成为动态点分治。
点分树和点分治一样适用于统计满足条件的路径的点权和，但点分树可修改点权，更加灵活，保证了每次只需查询或修改 \(log(n)\) 层。

Q4：具体实现？

1. 得到重构树，其实只需记录 \(fa_u\)。
2. 一个显然的思路是在重构树中将 \(now\) 不断变为父亲节点，得到在 \(fa_{now}\) 子树内但不在 \(now\) 子树内的贡献。
3. 想想如何更新。我们用 \(f_i\) 存 \(i\) 子树中 \(i\) 的数据，\(g_i\) 存 \(i\) 子树内 \(fa_i\) 的数据。

示例：P6329 【模板】点分树

void modify(int x,int k){
	int now=x;
	while(now){
		F.modify(now,getdis(now,x),k);
		if(Fa[now]) G.modify(now,getdis(Fa[now],x),k);
		now=Fa[now];
	}
}
int query(int x,int k){
	int now=x,pre=0,ret=0;
	while(now){
		int t=getdis(now,x);
		if(t>k){
			pre=now,now=Fa[now];
			continue;
		}
		ret+=F.ask(now,k-t);
		if(pre) ret-=G.ask(pre,k-t);
		pre=now,now=Fa[now]; 
	}
	return ret;
}