网络最大流总结

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题目描述

如题，给出一个网络图，以及其源点和汇点，求出其网络最大流。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含四个正整数N、M、S、T，分别表示点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。

接下来M行每行包含三个正整数ui、vi、wi，表示第i条有向边从ui出发，到达vi，边权为wi（即该边最大流量为wi）

输出格式：

一行，包含一个正整数，即为该网络的最大流。

输入输出样例

输入样例#1：

4 5 4 3
4 2 30
4 3 20
2 3 20
2 1 30
1 3 40

输出样例#1：

50

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=25

对于70%的数据：N<=200，M<=1000

对于100%的数据：N<=10000，M<=100000

样例说明

题目中存在3条路径：

4–>2–>3，该路线可通过20的流量

4–>3，可通过20的流量

4–>2–>1–>3，可通过10的流量（边4–>2之前已经耗费了20的流量）

故流量总计20+20+10=50。输出50。

简单分析

网络流，好比是一个城市道路，每条路限制了日运输量，求从城市s到城市t，每天最多运多少货物过去。

如果能运一次，答案是3，S→U→V→T这条路一次性运3

如果能运两次：答案是4，S→U→T和S→V→T这两条路各运一次，分别运2。

现在是不限运输次数，每次只需要找一下有没有路可以从S到达T就行了。因此，每次找到一条路，在记录运输量的同时，要把这条路径上的运输量减小。如上述例子，每次选择的路径是随机的，并不能保证选了之后会出现最优解，如选了S→U→V→T这条路一次性运3后，就不能再运输了。为了纠正这种错误，我们为图增加后向弧：原来U→V可以运输3，就增加一条V→U可以运输0的边，这对原来不会有影响；U→V运输了3以后，运输量变为0，而V→U变为3，即下次你后悔从U→V运输了的话，可以走V→U反悔。

这样，问题就可以转化为不断找S到T的路径的问题了。每次从S出发，找到达T的路径，如果能到达，则更新运输量，同时，S的出边运输量降低；直到不可到达时，就不可能再找到路径了。

注意赋初值：S点原来货物很多很多，接近无穷大；每次搜索找路径，走过的都不要再走，搜索前标记没走过；巧妙记录正向边反向边，方便更新他们的运输量……

程序实现

1、深度搜索，90分

2、广度搜索，每个点都访问一下，1500ms

3、广度搜索，走到终点就停下来，800ms

4、Dinic算法求最大流：以上算法，深搜一次或者广搜一次，只能增广一次，其复杂度与增广次数有关。Dinic算法，结合bfs和dfs的优势，通过一次搜索，多次增广，提高效率。

首先，以源点为根，bfs预处理其他各个点的深度，dfs的时候，到的下一个点必定是下一层的（下一个点的深度=前一个点深度+1），这样就避免了一个点重复到另外一个点的情况，而且搜索深度也会减小。当然，这样并不能提高速度，因为增广一次复杂度同样是O(m+n)。要真的提高效率，就要增广多次：dfs(a, w)表示有w的流量到达a点，返回的是从a点运输了多少流量到终点。由于只往深度大的点走，就不会走回头，a点通过一条路径运输完流量到终点后，可以继续找下一条路径继续运输流量，需要注意的是，回溯的时候，要更新正向边和反向边以及w的流量。

dfs代码中，a是起点，b是下一个点，c的能到b的流量，其大小取决于w和边的容量，取两者中小的一个。如果有流量到b且b是下一层，才尝试通过b运输流量到汇点，如果能运输到汇点，那么k就是运输的流量大小，那么从a到会得到流量s要增加a，停留在a的流量w要减少k，同时正向边减少k，反向边增加k。每条边都试过以后，返回从a点到达汇点的流量s。

当然，代码39行有个剪枝，如果s为0，说明有流量到了a点，但从a点出发，已经不能运输流量到汇点了，下次就不需要再到a了，将其深度标记为0就不会等于前一个点深度+1，就不会再走这个点了。这样速度至少快一倍，对于一下特殊的图甚至快好几十倍，可以避免超时。

5、Dinic稳定DFS：上面的Dinic代码，dfs的时候时间并不稳定，因为可能出现在路径后面出现不能到的情况，但前面的点还一直往这条路走。如果让dfs复杂度稳定呢？每条边只走一次！当然，这也要保证一次bfs后可以多次增广，不然预处理就没意义了。如果实现每条边只走一次呢？而且不要重复判断一条边有没有走过，因为一个点可以访问多次。可以这样做：用完点a一条边后，h[a]就跳到下一条边，即使下次再到达a点，访问过的边也不会再访问了。实现方法：int &i=h[a]，这样i修改的时候，h[a]就会跟着修改，需要注意的是，修改h[a]后，下次要用的话需要恢复一下h的数据。

代码中为什么dfs一次只找一条路？首先，多次dfs的时间复杂度还是O(m+n)，一次bfs后可以增广多次，增广多次的复杂度也是O(m+n)。为什么不像上面代码那样，一次dfs增广多次呢？因为一次dfs增广多次，留在每个点的流量会越来越小，可能有些边本来可以增广更大流量的，结果却增广了小流量，会间接地增加bfs的次数，降低速度。