数论分块小结

概念

下面除法皆表示整除

求：

$$\sum_{i=1}^n \frac n i$$

显然，暴力 $O(n)$，但有很多结果是相同的，所以可以分段每一段分别处理，大概有 $\sqrt n$ 段

令这一段的左端点（最小值）为 $l$，设 $k=\dfrac n l$，我们要找一个最大值 $r$ 满足 $\dfrac n r=k$，显然 $r=\dfrac n{\frac n l}$，则 $[l,r]$ 的和为 $\dfrac n l\times (r-l+1)$

例1 P2261 [CQOI2007]余数求和

数论分块

下面除法默认下取整

$$\Large G(n, k)\\\Large = \sum_{i = 1}^n k \bmod i\\\Large=\sum_{i=1}^n(k-\frac k i\times i)\\\Large=n\times k-\sum_{i=1}^ni\times\frac k i$$

显然，对于 $\frac k i$ 必然是很多段连续的数组成，所以可以分块处理，也就是数论分块。

设当前这一块左端点为 $l$，结果为 $a=\dfrac k l$，则 $r=\dfrac k l=\dfrac k {\frac k l}$，前面乘 $i$ 可以直接套等差数列求和公式。

时间复杂度 $O(\sqrt k)$

例2 牛客网235422 区间最大值

以下分数皆表示整除

$$\Large\max(n\bmod i)\\\Large=\max(n-\frac n i\times i)\\\Large=n+\max(-\frac n i\times i)\\\Large=n-\min(\frac n i \times i)$$

显然，当 $\frac n i$ 一定时，$i$ 越小越好，所以可以把每个 $\frac n i$ 求出来，然后数列分块取最小值即可

例3 P3935 Calculating

显然，$f(x)$ 就是 $x$ 的因数个数。

设 $S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$，所以答案在求 $S(r)-S(l-1)$

对于任意 $i\in[1,n]$，它作为小于等于 $n$ 的数的约数个数为 $\dfrac n i$（向下取整），于是 $S(n)=\sum_{i=1}^n \dfrac n i$

观察上式，$S(n)$ 显然可以通过数论分块在 $O(\sqrt n)$ 的时间求出。

总时间复杂度 $O(\sqrt r)$

例4 牛客网NC13221数码

显然数论分块

然后统计一下每一块内1到9出现的情况乘上 $n/l$ 即可

例5 P2260 [清华集训2012]模积和

设 $n\leq m$

$$\Large\sum_{i=1}^{n} (n \bmod i) \times \sum_{j=1}^{m}(m \bmod j)-\sum_{i=1}^ n (n\bmod i)(m\bmod i)$$

前面那两坨就是个数论分块板子，后面那块拆一下：

$$\Large \sum_{i=1}^n(nm-\frac m i\times in-\frac n i \times im+\frac m i\times\frac n i\times i^2)$$

这里还是可以数论分块，每次块的 $r$ 可以取 $\min(\dfrac m l, \dfrac n l)$

然后还有几个难点

1. 后面那坨鬼东西乘 $i^2$，众所周知二次方和公式 $\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac {n(n+1)(2n+1)}6$

2. 然后上面那个鬼公式因为上面三个乘起来会爆所以要用逆元

3. 然后因为↑↓出题人模数不是质数不能用费马只能老老实实打拓欧