数论分块小结

概念

下面除法皆表示整除

求：

\[\sum_{i=1}^n \frac n i \]

显然，暴力 \(O(n)\)，但有很多结果是相同的，所以可以分段每一段分别处理，大概有 \(\sqrt n\) 段

令这一段的左端点（最小值）为 \(l\)，设 \(k=\dfrac n l\)，我们要找一个最大值 \(r\) 满足 \(\dfrac n r=k\)，显然 \(r=\dfrac n{\frac n l}\)，则 \([l,r]\) 的和为 \(\dfrac n l\times (r-l+1)\)

例1 P2261 [CQOI2007]余数求和

数论分块

下面除法默认下取整

\[\Large G(n, k)\\\Large = \sum_{i = 1}^n k \bmod i\\\Large=\sum_{i=1}^n(k-\frac k i\times i)\\\Large=n\times k-\sum_{i=1}^ni\times\frac k i \]

显然，对于 \(\frac k i\) 必然是很多段连续的数组成，所以可以分块处理，也就是数论分块。

设当前这一块左端点为 \(l\)，结果为 \(a=\dfrac k l\)，则 \(r=\dfrac k l=\dfrac k {\frac k l}\)，前面乘 \(i\) 可以直接套等差数列求和公式。

时间复杂度 \(O(\sqrt k)\)

例2 牛客网235422 区间最大值

以下分数皆表示整除

\[\Large\max(n\bmod i)\\\Large=\max(n-\frac n i\times i)\\\Large=n+\max(-\frac n i\times i)\\\Large=n-\min(\frac n i \times i) \]

显然，当 \(\frac n i\) 一定时，\(i\) 越小越好，所以可以把每个 \(\frac n i\) 求出来，然后数列分块取最小值即可

例3 P3935 Calculating

显然，\(f(x)\) 就是 \(x\) 的因数个数。

设 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，所以答案在求 \(S(r)-S(l-1)\)

对于任意 \(i\in[1,n]\)，它作为小于等于 \(n\) 的数的约数个数为 \(\dfrac n i\)（向下取整），于是 \(S(n)=\sum_{i=1}^n \dfrac n i\)

观察上式，\(S(n)\) 显然可以通过数论分块在 \(O(\sqrt n)\) 的时间求出。

总时间复杂度 \(O(\sqrt r)\)

例4 牛客网NC13221数码

显然数论分块

然后统计一下每一块内1到9出现的情况乘上 \(n/l\) 即可

例5 P2260 [清华集训2012]模积和

设 \(n\leq m\)

\[\Large\sum_{i=1}^{n} (n \bmod i) \times \sum_{j=1}^{m}(m \bmod j)-\sum_{i=1}^ n (n\bmod i)(m\bmod i) \]

前面那两坨就是个数论分块板子，后面那块拆一下：

\[\Large \sum_{i=1}^n(nm-\frac m i\times in-\frac n i \times im+\frac m i\times\frac n i\times i^2) \]

这里还是可以数论分块，每次块的 \(r\) 可以取 \(\min(\dfrac m l, \dfrac n l)\)

然后还有几个难点

1. 后面那坨鬼东西乘 \(i^2\)，众所周知二次方和公式 \(\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac {n(n+1)(2n+1)}6\)

2. 然后上面那个鬼公式因为上面三个乘起来会爆所以要用逆元

3. 然后因为↑↓出题人模数不是质数不能用费马只能老老实实打拓欧