拓欧求逆元

相关文章：

• 拓展欧几里得小结 内容基本一样
• 一本通提高篇之同余问题（课堂笔记）有些例题
• 其他 博客相关文章

这篇文章内容之前已经记过一次了，但用的时候又忘了，再记一下

之前的这篇会详细很多

拓展欧几里得复习

\[\Large ax+by=\gcd(a,b) \]

其中 \(a,b\) 已知，求 \(x,y\)

正常的推导应该都会，拆开后合并同类项最终化为：

\[\Large ay'+b(x'-\frac a by')=\gcd(b,a\bmod b) \]

所以 \(x=y', y=\dfrac a b y'\)，代码实现时我们是知道当前这一步的 \(x',y'\)，要推回上一步的 \(x,y\)，直接套上面式子

边界条件和打普通gcd一样，若 \(b=0\) 就结束，此时 \(x=1,y=0\)

拓欧求逆元

前提：\(\gcd(a,p)=1\)

求 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元，可以表示为求 \(ax\equiv 1\pmod p\) 中的 \(x\)

怎么用拓欧做？回到拓欧式子：

\[\Large ax+by=\gcd(a,b) \]

已知的是 \(a,p\)，直接套进去：

\[\Large ax+py=\gcd(a,p) \]

\(\gcd(a,p)\) 已知为1：

\[\Large ax+py=1 \]

那模 \(p\) 后必然相同，即：

\[\Large ax+py\equiv 1\pmod p \]

约去 \(py\)：

\[\Large ax\equiv 1\pmod b \]

\(x\) 就是答案