【P2261 [CQOI2007]余数求和】题解

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题目

给出正整数 \(n\) 和 \(k\)，请计算

\[G(n, k) = \sum_{i = 1}^n k \bmod i \]

其中 \(k\bmod i\) 表示 \(k\) 除以 \(i\) 的余数。

思路

数论分块

下面除法默认下取整

\[\Large G(n, k)\\\Large = \sum_{i = 1}^n k \bmod i\\\Large=\sum_{i=1}^n(k-\frac k i\times i)\\\Large=n\times k-\sum_{i=1}^ni\times\frac k i \]

显然，对于 \(\frac k i\) 必然是很多段连续的数组成，所以可以分块处理，也就是数论分块。

设当前这一块左端点为 \(l\)，结果为 \(a=\dfrac k l\)，则 \(r=\dfrac k l=\dfrac k {\frac k l}\)，前面乘 \(i\) 可以直接套等差数列求和公式。

时间复杂度 \(O(\sqrt k)\)

Code

// Problem: P2261 [CQOI2007]余数求和
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2261
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
//#define N
int n, m, i, j, k, T; 
int ans, l, r; 

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read(); k=read(); 
	for(l=1; l<=min(n, k); l=r+1)
	{
		r=min(n, k/(k/l)); 
		ans-=(l+r)*(r-l+1)/2*(k/l); 
	}
	ans+=n*k; 
	printf("%lld", ans); 
	return 0; 
}

总结

可以说是数论分块的模板题了。

此类题的特征：

1. 出现求一个数除大量数的情况
2. 出现对余数、约数求和