【一本通 1486：【例题1】黑暗城堡】题解

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题目

知道黑暗城堡有 \(N\) 个房间，\(M\) 条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。

城堡是树形的并且满足下面的条件：

设 \(D_i\)为如果所有的通道都被修建，第 \(i\) 号房间与第 \(1\) 号房间的最短路径长度；

而 \(S_i\) 为实际修建的树形城堡中第 \(i\) 号房间与第 \(1\) 号房间的路径长度；

要求对于所有整数 \(i(1≤i≤N)\)，有 \(S_i= D_i\) 成立。

你想知道有多少种不同的城堡修建方案。当然，你只需要输出答案对 \(2^{31} -1\) 取模之后的结果就行了。

思路

首先可以求出1号房间到所有房间的距离，跑一遍Dij即可。

然后对于每个点考虑。

如果与其相连的任意点的最短路加上边权等于这个点最短路，那么这个点的选择方式就多1。

最后把每个点的所有选择方式求积即可。

Code

// Problem: 1486：【例题1】黑暗城堡
// Contest: SSOIER
// URL: http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1486
// Memory Limit: 65 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
const int mo=(1<<31)-1; 
#define N 1010
//#define M
int n, m, i, j, k; 
int mp[N][N], b[N], f[N], a[N], ans=1, l; 
int x, y; 

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	memset(mp, 0x3f, sizeof(mp)); 
	memset(f, 0x3f, sizeof(f)); f[1]=0; 
	n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<=m; ++i)
	{
		x=read(); y=read(); l=read(); 
		mp[x][y]=mp[y][x]=l; 
	}
	for(i=2; i<=n; ++i)
	{
		for(k=0, j=1; j<=n; ++j)
			if(f[j]<f[k] && !b[j]) k=j; 
		for(b[k]=j=1; j<=n; ++j)
			f[j]=min(f[j], f[k]+mp[k][j]); 
	}
	for(i=2; i<=n; ++i)	
	{
		// printf("%lld ", f[i]); 
		for(j=1; j<=n; ++j)
			a[i]+= f[j]+mp[j][i]==f[i]; 
		ans=ans*a[i]%mo; 
	}
	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}

总结

这类题其实挺巧妙的，难点在于如何统计方案数。

此题采用的是每个点分开考虑，再用乘法原理相乘。

当我们把1号节点定义为根节点时，任意一条边如果存在则必然构成父子关系。而边权都大于0，固必然是大的点是小的点的儿子节点。