Nim游戏

题目

$N$ 堆石子，两人轮流从其中一堆取至少一个石子，问先手是否存在必胜策略。

结论

异或不为0，先手必胜。

证明

设 $k$ 为某一堆取完后的剩余个数，$i$ 为被取那堆石子的编号，则取完后的异或和为 $x_1\;xor\;x_2\;xor\dots xor\;x_{i-1}\;xor\;x_{i+1}\;xor\dots xor\;x_n\;xor\; k$。

情况一：异或和为0

1. 总数为0，此时先手输了
2. 总数不为0，此时先手还要使异或和为0，就必须使得 $k=x_i$，然而由于至少取一个，所以这是不可能的，所以必然会转为情况二。

情况二：异或和不为0

可以证明，必然可以取为0。

设 $S=x_1\;xor\;x_2\;xor\dots xor\;x_n$，$x_i$ 为 $x$ 中的最大值。

1. $S$ 的二进制位数小于 $x_i$ 的位数，则 $x_i$ 必然可以凑出一个数使得其异或 $S$ 等于0。
2. $S$ 的二进制位数和 $x_i$ 的二进制位数相同，需满足 $k\leqslant x_i$ 且 $S\;xor\; x_i\;xor\;k=0$。由于 $S\;xor\; x_i$ 时已经使得二进制最高位为0，所以 $k$ 的二进制最高位必然为0。$k$ 在二进制的最高位已经满足小于 $x_i$，后面的位数可以随便取，那么只需要取 $S\;xor\; x_i$ 即可（这个数的二进制最高位也为0）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int n, m, i, j, k, T; 

int main()
{
	scanf("%d", &n); 
	for(i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &k), m^=k; 
	printf(m ? "win" : "lose"); 
	return 0; 
}