【P2569 [SCOI2010]股票交易】题解
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题目
最近 \(\text{lxhgww}\) 又迷上了投资股票,通过一段时间的观察和学习,他总结出了股票行情的一些规律。
通过一段时间的观察,\(\text{lxhgww}\) 预测到了未来 \(T\) 天内某只股票的走势,第 \(i\) 天的股票买入价为每股 \(AP_i\),第 \(i\) 天的股票卖出价为每股 \(BP_i\)(数据保证对于每个 \(i\),都有 \(AP_i \geq BP_i\)),但是每天不能无限制地交易,于是股票交易所规定第 \(i\) 天的一次买入至多只能购买 \(AS_i\) 股,一次卖出至多只能卖出 \(BS_i\) 股。
另外,股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易,股票交易所规定在两次交易(某一天的买入或者卖出均算是一次交易)之间,至少要间隔 \(W\) 天,也就是说如果在第 \(i\) 天发生了交易,那么从第 \(i+1\) 天到第 \(i+W\) 天,均不能发生交易。同时,为了避免垄断,股票交易所还规定在任何时间,一个人的手里的股票数不能超过 \(\text{MaxP}\)。
在第 \(1\) 天之前,\(\text{lxhgww}\) 手里有一大笔钱(可以认为钱的数目无限),但是没有任何股票,当然,\(T\) 天以后,\(\text{lxhgww}\) 想要赚到最多的钱,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
思路
明显的dp。
设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 天持股为 \(j\) 的最大钱数,首先可以从上一天或者第0天推导过来。
然后考虑买入的情况,由于我们每次由上一天推导过来,具有传递性,所以我们可以由第 \(i-w-1\) 天推导过来。
假设第 \(i-w-1\) 天持股数量为 \(k\),那么需满足 \(j-as_i\leqslant k\leqslant j-1\),转移为:
可是这样的时间复杂度达到三次方级别,于是我们对上面的式子变换一下:
明显,前面那一部分可以用单调队列优化。
卖出情况同理。
总结
这是一道非常经典的dp加单调队列优化。
dp方面,传递性的思想很巧妙。
有些时候,dp式子需要进行一定变换才能使用单调队列优化。
Code
// Problem: P2569 [SCOI2010]股票交易
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2569
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define mo
#define N 2010
//#define M
int n, m, i, j, k;
int ap[N], bp[N], as[N], bs[N];
int dp[N][N], ans, w, mx;
pair<int, int>p;
deque<pair<int, int > >q1, q2;
signed main()
{
// freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
// freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
memset(dp, 0x80, sizeof(dp));
n=read(); m=read(); w=read();
for(i=1; i<=n; ++i)
{
ap[i]=read(); bp[i]=read();
as[i]=read(); bs[i]=read();
}
for(i=1; i<=n; ++i)
{
for(j=0; j<=m; ++j)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j<=as[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j], -j*ap[i]);
}
if(i<=w) continue;
for(j=0; j<=m; ++j)
{
while(!q1.empty() && q1.front().second<j-as[i]) q1.pop_front();
while(!q1.empty() && q1.back().first<=dp[i-w-1][j-1]+(j-1)*ap[i]) q1.pop_back();
p.first=dp[i-w-1][j-1]+(j-1)*ap[i]; p.second=j-1; q1.push_back(p);
dp[i][j]=max(dp[i][j], q1.front().first-j*ap[i]);
}
for(j=m; j>=0; --j)
{
while(!q2.empty() && q2.front().second>j+bs[i]) q2.pop_front();
while(!q2.empty() && q2.back().first<=dp[i-w-1][j+1]+(j+1)*bp[i]) q2.pop_back();
p.first=dp[i-w-1][j+1]+(j+1)*bp[i]; p.second=j+1; q2.push_back(p);
dp[i][j]=max(dp[i][j], q2.front().first-j*bp[i]);
}
q1.clear(); q2.clear();
}
for(i=0; i<=m; ++i) ans=max(ans, dp[n][i]);
printf("%lld", ans);
return 0;
}
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