【一本通OJ 1603：绿色通道】题解

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题目

高二数学《绿色通道》总共有 \(n\) 道题目要抄，编号 \(1\ldots n\)，抄第 \(i\) 题要花 \(a_i\) 分钟。小 Y 决定只用不超过 \(t\) 分钟抄这个，因此必然有空着的题。每道题要么不写，要么抄完，不能写一半。下标连续的一些空题称为一个空题段，它的长度就是所包含的题目数。这样应付自然会引起马老师的愤怒，最长的空题段越长，马老师越生气。

现在，小 Y 想知道他在这 \(t\) 分钟内写哪些题，才能够尽量减轻马老师的怒火。由于小 Y 很聪明，你只要告诉他最长的空题段至少有多长就可以了，不需输出方案。

思路

由于最长长度和最短时间都不确定。我们可以假设其中一项确定来思考。

考虑二分答案，二分最长空题段。

假设二分当前最长空题段为 \(k\)，我们就可以尝试dp处理。

设 \(dp_i\) 表示第 \(i\) 题做，且前 \(i\) 题的最长空题段小于等于 \(k\) 时的最短时间，我们可以枚举上一条做了的题，即：

\[dp_i=\min_{\max(j=i-k-1, 0)}^{i-1}dp_j+a_i \]

答案我们可以在 \([n-k-1, n]\) 里枚举最后一道题的位置，时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

显然，\(\min_{\max(j=i-k-1, 0)}^{i-1}dp_j\) 可以用单调队列优化，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

总结

这是一道二分+单调dp的模板。

题目问最长能多长，可以考虑二分，成为切入点。

当最长长度确定，dp也很容易可以写出。

超时后也容易发现，式子中可以用单调队列优化，代码不难打。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 500010
int n, m, i, j, k;
int l, r, mid, ans;
int dp[N], a[N], t;
pair<int , int>p;
deque<pair<int, int> >q;

int check(int k) {
	q.clear();
	p.first=0; p.second=0;
	q.push_back(p);
	for(i=1; i<=n; ++i) {
		dp[i]=q.front().first+a[i];
		while(!q.empty() && i-q.front().second>k) q.pop_front();
		while(!q.empty() && dp[i]<=q.back().first) q.pop_back();
		p.first=dp[i];
		p.second=i;
		q.push_back(p);
	}
	ans=0x7fffffffffffffff;
	for(i=n-k-1; i<=n; ++i) ans=min(ans, dp[i]);
	return ans<=t;
}

signed main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &t); 
	for(i=1; i<=n; ++i) scanf("%lld", &a[i]); 
	l=1, r=n;
	while(l<r) {
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%lld", l);
	return 0;
}