一本通提高篇之同余问题（课堂笔记）

上课记的，有点乱

「一本通 6.4 例 1」青蛙的约会

式子推倒

\[\Large x+mt\equiv y+nt\pmod L \]

\[\Large mt-nt\equiv y-x \pmod L \]

\[\Large (m-n)t\equiv y-x \pmod L \]

\[\Large t\equiv (y-x)\times (m-n)^{-1} \pmod L \]

逆元：若 \(x\times x^{-1}\equiv \pmod L\)，则称 \(x^{-1}\) 为 \(x\) 的逆元。

假设 \((m-n)=k\)，现在求 \(k^{-1}\) 。

拓展欧几里得

假设有 \(ax+by=1\)

当 \(\gcd(a,b)=1\)，则有解，不然可以提一个 \(gcd(a,b)\) 出来。

设 \(r=a\bmod b\)

\[\Large bx'+ry'=1 \]

这样子不断模下去，必然会出现 \(r=0, b=1\)，此时 \(x=y=1\) 即可。

现在我们假设知道：

\[\Large ax+by=1 \]

\[\Large bx'+ry'=1 \]

设 \(p=\frac{a}{b}\)，\(r=a%b\)，\(a=pb+r\)，

带入得：

\[\Large (pb+r)x+by=1 \]

\[\Large pbx+rx+by=1 \]

\[\Large b(px+y)+rx=1 \]

此时我们发现这条式子与 \(bx'+ry'=1\) 很像，于是得到：

\[\Large x=y' \]

\[\Large y=x'-px \]

拓欧求逆元

\[ax\bmod b+by\bmod b=1 \]

\[ax\bmod b=1 \]

所以 \(x\) 是 \(a\bmod b\) 下的逆元。

code

void exgcd(int a, int b, int x, int y)
{
	if(b==0) x=y=1; 
	else
	{
		gcd(b, a%b, y, x); 
		y-=a/b*x; 
	}
}

int main()
{
	a=((m-n)%L+L)%L; //求a的逆元
	exgcd(a, L, x, y); 
}

题目解法

\(ax+by=c\)有解，\(ax+by\) 总是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数，所以 \(c\) 也要是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
#define int long long
int n, m, i, j, k; 
int x, y, p, q, L, a, b, c; 

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if(b==0) x=c/a, y=0; 
	else
	{
		exgcd(b, a%b, y, x); 
		y-=a/b*x; 
	}
}//exgcd直接解方程

signed main()
{
	cin>>x>>y>>m>>n>>L;  
	a=((m-n)%L+L)%L;
	c=((y-x)%L+L)%L; 
	exgcd(a, L, p, q); 
	p=(p%L+L)%L; 
	if(a*p%L!=c) return printf("Impossible"), 0; 
	printf("%lld", p); 
	return 0; 
}