一本通提高篇之同余问题（课堂笔记）

上课记的，有点乱

「一本通 6.4 例 1」青蛙的约会

式子推倒

$$\Large x+mt\equiv y+nt\pmod L$$

$$\Large mt-nt\equiv y-x \pmod L$$

$$\Large (m-n)t\equiv y-x \pmod L$$

$$\Large t\equiv (y-x)\times (m-n)^{-1} \pmod L$$

逆元：若 $x\times x^{-1}\equiv \pmod L$，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的逆元。

假设 $(m-n)=k$，现在求 $k^{-1}$ 。

拓展欧几里得

假设有 $ax+by=1$

当 $\gcd(a,b)=1$，则有解，不然可以提一个 $gcd(a,b)$ 出来。

设 $r=a\bmod b$

$$\Large bx'+ry'=1$$

这样子不断模下去，必然会出现 $r=0, b=1$，此时 $x=y=1$ 即可。

现在我们假设知道：

$$\Large ax+by=1$$

$$\Large bx'+ry'=1$$

设 $p=\frac{a}{b}$，$r=a%b$，$a=pb+r$，

带入得：

$$\Large (pb+r)x+by=1$$

$$\Large pbx+rx+by=1$$

$$\Large b(px+y)+rx=1$$

此时我们发现这条式子与 $bx'+ry'=1$ 很像，于是得到：

$$\Large x=y'$$

$$\Large y=x'-px$$

拓欧求逆元

$$ax\bmod b+by\bmod b=1$$

$$ax\bmod b=1$$

所以 $x$ 是 $a\bmod b$ 下的逆元。

code

void exgcd(int a, int b, int x, int y)
{
	if(b==0) x=y=1; 
	else
	{
		gcd(b, a%b, y, x); 
		y-=a/b*x; 
	}
}

int main()
{
	a=((m-n)%L+L)%L; //求a的逆元
	exgcd(a, L, x, y); 
}

题目解法

$ax+by=c$有解，$ax+by$ 总是 $\gcd(a,b)$ 的倍数，所以 $c$ 也要是 $\gcd(a,b)$ 的倍数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
#define int long long
int n, m, i, j, k; 
int x, y, p, q, L, a, b, c; 

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if(b==0) x=c/a, y=0; 
	else
	{
		exgcd(b, a%b, y, x); 
		y-=a/b*x; 
	}
}//exgcd直接解方程

signed main()
{
	cin>>x>>y>>m>>n>>L;  
	a=((m-n)%L+L)%L;
	c=((y-x)%L+L)%L; 
	exgcd(a, L, p, q); 
	p=(p%L+L)%L; 
	if(a*p%L!=c) return printf("Impossible"), 0; 
	printf("%lld", p); 
	return 0; 
}