【Loj #10155. 「一本通 5.2 例 3」数字转换】题解

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题目

如果一个数 \(x\) 的约数和 \(y\) （不包括他本身）比他本身小，那么 \(x\) 可以变成 \(y\)，\(y\) 也可以变成 \(x\)。例如 \(4\) 可以变为 \(3\)，\(1\) 可以变为 \(7\)。限定所有数字变换在不超过 \(n\) 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

思路

我们发现，通过数字之间的连边，可以构成一个森林。

于是题目就转化为在森林里求最长链。

对于每一棵树，分别求根离根节点最远和次远的点距离根节点的距离，加起来就是最长链。

其实可以证明，这条最长链一定在1号节点所在的那棵树上。

总结

这道题我一开始以为会构成一个图，然后在图上求最长链，嗯...

后来通过手推发现会构成一棵树，其实对于这种你以为会构成图的，有时你会巧妙的发现它变成了一棵树。

另一方面，以前我求树上最长链会用两遍dfs，但其实，利用树形dp，一次即可，以后可以用。

Code

// Problem: 1577：【例 3】数字转换
// Contest: SSOIER
// URL: http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1577
// Memory Limit: 524 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 50010
struct node
{
	int x, y, n; 
}d[N*2]; 
int n, m, i, j, k; 
int h[N], fx[N], fy[N], f[N], s[N]; 
int ans; 

void cun(int x, int y)
{ 
	d[++k].x=x; d[k].y=y; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
	// printf("%d %d\n", x, y); 
}

void dfs(int x, int fa)
{
	int g, y;
	fx[x]=1; 
	for(g=h[x]; g; g=d[g].n)
	{
		y=d[g].y; 
		if(y==fa) continue; 
		dfs(y, x); 
		if(fx[y]>fx[x]-1) fy[x]=fx[x]-1, fx[x]=fx[y]+1; 
		else if(fx[y]>fy[x]) fy[x]=fx[y]; 
	}
	ans=max(ans, fx[x]+fy[x]); 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read(); 
	for(i=1; i<=n; ++i)
	{
		if(s[i]<i && s[i]) cun(s[i], i); 
		else f[i]=1; 
		for(j=i+i; j<=n; j+=i) s[j]+=i; 
	}
	for(i=1; i<=n; ++i) 
		if(f[i]) dfs(i, 0); 
	printf("%d", ans-1); 
	return 0; 
}