【P2014 [CTSC1997]选课】题解

题目链接

题目

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有 \(N\) 门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程 a 是课程 b 的先修课即只有学完了课程 a，才能学习课程 b）。一个学生要从这些课程里选择 \(M\) 门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

思路

对于没有祖先的，就连向一个虚点，那么这就是在一个连通树上的问题。

于是我们采纳树形dp。

设 \(dp(x,i)\) 表示在以 \(x\) 为根的子树里选 \(i\) 们课程的最大学分。

此时我们对于每一个儿子 \(y\)，枚举在 \(y\) 里面选 \(j\) 们课程然后转移即可即可。

总结

对于这种题，如果发现题目中不能构成一课树，我们可以尝试建立虚点，然后变成一棵完整的树。

通过这个方法，我们就可以在树上愉快地做树形dp了。

Code

// Problem: P2014 [CTSC1997]选课
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2014
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 310
struct node
{
	int x, y, n; 
}d[2*N]; 
int n, m, i, j, k; 
int f[N], h[N], a[N], dp[N][N]; 

void cun(int x, int y)
{
	d[++k].x=x; d[k].y=y; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
}

void dfs(int x, int fa)
{
	int i, j, g, y; 
	dp[x][1]=a[x]; 
	for(g=h[x]; g; g=d[g].n)
	{
		y=d[g].y; 
		if(y==fa) continue; 
		dfs(y, x); 
		for(i=0; i<=m; ++i) f[i]=dp[x][i]; 
		for(i=1; i<=m; ++i)
			for(j=1; j<i; ++j)
				dp[x][i]=max(dp[x][i], dp[y][j]+f[i-j]); 
	}
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read()+1; m=read()+1; 
	for(i=2; i<=n; ++i) 
	{
		j=read()+1; cun(j, i); 
		a[i]=read(); 
	}
	dfs(1, 0); 
	printf("%d", dp[1][m]); 
	return 0; 
}