【P2015 二叉苹果树】题解

题目链接

题目

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分二叉（就是说没有只有一个儿子的结点）

这棵树共有 \(N\) 个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为 \(1 \sim N\)，树根编号一定是 \(1\)。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有 \(4\) 个树枝的树：

2   5
 \ / 
  3   4
   \ /
    1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

思路

设 \(dp(x,i)\) 代表以 \(x\) 为根的子树里，保留 \(i\) 根树枝的最多苹果数。

则对于 \(x\) 的子节点 \(y\)，我们可以枚举它保留多少条边，记为 \(j\)：

\[dp(x, i)=\max_{y\in x}\max_{j=1}^i(dp(y, j)+z+dp(x, i-j)) \]

其中 \(z\) 代表 \(x\) 连向 \(y\) 这条边的边权。

总结

这道题难倒不难，但我第一次打时打失败了。

这道题首先要注意的是，苹果是在边上，不是在点上，这与普通的惯性思维不同，容易造成混乱。

其次，我在草稿纸上设计dp时，差点分不清我dp的第二维是保留还是删掉。

做这类树形dp的时候，一定要理清楚，状态要明确，转移时的转态不能与设计时的转态产生冲突。

Code

// Problem: 1575：【例 1】二叉苹果树
// Contest: SSOIER
// URL: http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1575
// Memory Limit: 524 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 110
struct node
{
	int x, y, z, n; 
}d[N*2]; 
int n, m, i, j, k; 
int dp[N][N], f[N], h[N]; 
int u, v, w; 

void cun(int x, int y, int z)
{
	d[++k].x=x; d[k].y=y; d[k].z=z; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
}

void dfs(int x, int fa)
{
	int g, y, i, j; 
	dp[x][0]=0; 
	for(g=h[x]; g; g=d[g].n)
	{
		y=d[g].y; 
		if(y==fa) continue; 
		dfs(y, x); 
		for(i=0; i<=m; ++i) f[i]=dp[x][i]; 
		for(i=1; i<=m; ++i)
			for(j=1; j<=i; ++j)
				dp[x][i]=max(dp[x][i], dp[y][j-1]+f[i-j]+d[g].z); 
	}
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<n; ++i)
	{
		u=read(); v=read(); w=read();  
		cun(u, v, w); cun(v, u, w); 
	}
	dfs(1, 0); 
	printf("%d", dp[1][m]); 
	return 0; 
}