【Loj #10222. 「一本通 6.5 例 4」佳佳的 Fibonacci】题解

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题目

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。例如用 \(S(n)\) 表示 Fibonacci 前 \(n\) 项和 \(\bmod m\) 的值，即 \(S(n)=(F_1+F_2+...+F_n)\bmod m\)，其中 \(F_1=F_2=1, F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\) 。可这对佳佳来说还是小菜一碟。
终于，她找到了一个自己解决不了的问题。用 \(T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+...+nF_n)\bmod m\) 表示 Fibonacci 数列前 \(n\) 项变形后的和 \(\bmod m\) 的值。
现在佳佳告诉你了一个 \(n\) 和 \(m\)，请求出 \(T(n)\) 的值。

思路

设

\[\Large S_n=\sum_{i=1}^n f_i \]

\[\Large W_n=\sum_{i=1}^n f_i\times (n-i) \]

由 ：

\[\Large T_n=\sum_{i=1}^n f_i\times i \]

可得：

\[\Large T_n=S_n\times n-W_n \]

由 \(W_n=\sum_{i=1}^n f_i\times (n-i)\) 可得：

\[W_n=\sum_{i=1}^{n-1}S_n \]

故可以用矩阵快速幂算出 \(S_n\) 和 \(W_n\)。

列出矩阵：

\[\Large \begin{bmatrix}1,1,0,0\\1,0,0,0\\1,0,1,0\\0,0,1,1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}F_n\\F_{n-1}\\S_{n-1}\\W_{n-1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_n\\S_n\\W_n\end{bmatrix}\]

总结

这是一道挺好的矩阵快速幂的题，既有思维含量，又有算法含量。

首先思维方面，这题可以巧妙的转化 \(T_n\)，把一个难求的值变成两个易求的值相减。

另一方面，矩阵快速幂也调了我很久，一个 \(n\time m\) 的矩阵和一个 \(m\times q\) 的矩阵相乘，三层循环分别是 \(n,q,m\)，注意顺序。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m, i, j, k;
int a[5][5]= {
	{0,0,0,0,0},
	{0,1,1,0,0},
	{0,1,0,0,0},
	{0,1,0,1,0},
	{0,0,0,1,1}
};
int ans[5][5], mo;
void cheng(int a[5][5], int b[5][5], int n, int m, int q) {
	int c[5][5]= {0}, i, j, k;
	for(i=1; i<=n; ++i)
		for(j=1; j<=q; ++j)
			for(k=1; k<=m; ++k)
				c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%mo;
	memset(a, 0, sizeof(c));
	memcpy(a, c, sizeof(c));
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &mo); m=n;
	ans[1][1]=ans[2][2]=ans[3][3]=ans[4][4]=1;
	while(n) {
		if(n&1) cheng(ans, a, 4, 4, 4);
		n>>=1; cheng(a, a, 4, 4, 4);
	}
	memset(a, 0, sizeof(a)); a[1][1]=1;
	cheng(ans, a, 4, 4, 1);
	printf("%lld", ((ans[3][1]*m-ans[4][1])%mo+mo)%mo);
	return 0;
}